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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 07.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\{p \in \IR[T] | Grad(p) \le 2 \}[/mm]. Sei [mm] <,> : V x V \to \IR [/mm] ein Skalarprodukt, definiert durch [mm] =p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1) [/mm] für alle [mm] p,q \ V [/mm].
Überführen Sie die Basis [mm] (1,T,T^2) [/mm] von V mit dem Verfahren von Gram-Schmidt in eine Orthonormalbasis. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
mein Ansatz ist Folgender:
[mm] p=T^2+a_1T+a_0, q=T^2+b_1T+b_0 [/mm]
Dann ist [mm] =(1-a_1+a_0)(1-b_1+b_0)+a_0b_0+(1+a_1+a_0)(1+b_1+b_0)=2+2a_0+2b_0+2a_1b_1+3a_0b_0 [/mm]
Stimmt das ?
In der Lösung steht dann:
[mm] <1,1> = 3 [/mm]
Wie kommt denn das zustande ?
Vielen Dank, Susanne.
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Hallo Susanne,
> Sei [mm]V=\{p \in \IR[T] | Grad(p) \le 2 \}[/mm]. Sei [mm]<,> : V x V \to \IR [/mm]
> ein Skalarprodukt, definiert durch
> [mm]=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)[/mm] für alle [mm]p,q \ V [/mm].
>
> Überführen Sie die Basis [mm](1,T,T^2)[/mm] von V mit dem Verfahren
> von Gram-Schmidt in eine Orthonormalbasis.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> mein Ansatz ist Folgender:
> [mm]p=T^2+a_1T+a_0, q=T^2+b_1T+b_0[/mm]
> Dann ist
> [mm]=(1-a_1+a_0)(1-b_1+b_0)+a_0b_0+(1+a_1+a_0)(1+b_1+b_0)=2+2a_0+2b_0+2a_1b_1+3a_0b_0[/mm]
>
> Stimmt das ?
Hmm, 2 Dinge:
1) Wieso machst du das überhaupt  Ich meine, wofür brauchst du das jetzt im Hinblick auf die Aufgabenstellung
2) Wieso nimmst du normierte Polynome? Davon steht nix in der Aufgabenstellung, allg ist [mm] $p=a_2T^2+a_1T+a_0\in [/mm] V$
>
> In der Lösung steht dann:
> [mm]<1,1> = 3[/mm]
> Wie kommt denn das zustande ?
Du willst/sollst doch die gegebene (Standard-)Basis [mm] $\mathbb{B}=\{b_1,b_2,b_3\}=\{1,T,T^2\}$ [/mm] von V mit Gram-Schmidt bzgl. des oben gegebenen Skalarproduktes zu einer ONB machen.
Dazu schaue dir nochmal das Gram-Schmidt-Verfahren an, etwa ![[]](/images/popup.gif) hier
Beachte, dass du für das dortige Skalaprodukt das deinige hier aus der Aufgabe verwenden musst!
Du kannst erst orthogonalisieren und am Ende normieren, das ist übersichtlicher
Wenn wir mal das Zwischensystem, also das Orthogonalsystem mit [mm] $\{u_1,u_2,u_3\}$ [/mm] bezeichnen, so ist (s. link):
[mm] $u_1=b_1=1$
[/mm]
Zur Berechnung von [mm] $u_2=b_2-\frac{\langle b_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1$ [/mm] brauchst du u.a. das obige [mm] $\langle u_1,u_1\rangle=\langle 1,1\rangle$
[/mm]
Wie rechnest du das aus? Na, einfach die Def. deines Skalarproduktes hernehmen:
Aus der Def. entsprechen hier den Polynomen p und q die konstanten Polynome [mm] $p\equiv [/mm] 1, [mm] q\equiv [/mm] 1$ Also ist für jedes [mm] $x\in\IR: [/mm] p(x)=q(x)=1$
Also [mm] $p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1)=1\cdot{}1+1\cdot{}1+1\cdot{}1=3$ [/mm] usw.
Hoffe, damit kommst du ein Stück voran
>
> Vielen Dank, Susanne.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Do 07.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo schachuzipus,
VIELEN VIELEN DANK für die ausführliche Erklärung !!
Ich hatte das mit dem konstanten Polynom völlig falsch verstanden.
LG, Susanne.
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