Skalarprodukt Beweis Korrektur < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Sa 04.06.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei f in [mm] $End(\IR^{n})$ [/mm] so dass $<f(v),f(w)>=<v,w>$ für alle $v,w$ in [mm] $\IR^{n}$. [/mm] Man zeige dass [mm] $A=\psi(f) \in [/mm] O(n)$ |
Hallo,
Mit $B:= Basis \ von \ [mm] \IR^{n}$
[/mm]
$<f(v),f(w)> = <v,w>$
[mm] $\gdw \vphantom{lala}^{t}f(v)_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{f(w)_{B}}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{w}_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vphantom{lalala}^{t}(A^{B}_{B}(f)v_{B})\overline{(A^{B}_{B}(f)w_{B})}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}E\overline{w}_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B} [/mm] \ [mm] \vphantom{lala}^{t}(f)\overline{A^{B}_{B}(f)}\overline{w}_{B} [/mm] = [mm] \vphantom{lala}^{t}v_{B}E \overline{w}_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw A^{B}_{B}\ \vphantom{lala}^{t}(f) \overline{A^{B}_{B}(f)} [/mm] = E$
Ist das so richtig?
Danke.
Gruss
kushkush
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> Sei f in [mm]End(\IR^{n})[/mm] so dass [mm]=[/mm] für alle
> [mm]v,w[/mm] in [mm]\IR^{n}[/mm]. Man zeige dass [mm]A=\psi(f) \in O(n)[/mm]
Hallo,
man müßte wohl schon wissen, wie die Abbildung [mm] \psi [/mm] definiert ist, was 0(n) bedeutet, und ich rätsele auch, ob A womöglich irgendeine Matrix sein soll.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Sa 04.06.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> was ist psi
mit Psi wurde bisher immer die Abbildungsmatrix bezeichnet
> O(n)
Die Gruppe aller orthogonalen nxn matrizen
Gruss
kushkush
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> Sei f in [mm]End(\IR^{n})[/mm] so dass [mm]=[/mm] für alle
> [mm]v,w[/mm] in [mm]\IR^{n}[/mm]. Man zeige dass [mm]A=\psi(f) \in O(n)[/mm]
> Hallo,
>
> Mit [mm]B:= Basis \ von \ \IR^{n}[/mm]
Hallo,
irgendeine? Oder eine mit besonderen Eigenschaften?
> [mm] = [/mm]
>
> [mm]\gdw \vphantom{lala}^{t}f(v)_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{f(w)_{B}}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{w}_{B}[/mm]
Die Querstriche fürs Konjugieren können getrost wegbleiben. Wir sind im [mm] \IR^n.
[/mm]
>
> [mm]\gdw \vphantom{lalala}^{t}(A^{B}_{B}(f)v_{B})\overline{(A^{B}_{B}(f)w_{B})}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}E\overline{w}_{B}[/mm]
Wohin ist die Matrix [mm] A^{B}_{B}(<,>) [/mm] verschwunden und weshalb?
> [mm]\gdw \vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B} \ \vphantom{lala}^{t}(f)\overline{A^{B}_{B}(f)}\overline{w}_{B} = \vphantom{lala}^{t}v_{B}E \overline{w}_{B}[/mm]
>
> [mm]\gdw A^{B}_{B}\ \vphantom{lala}^{t}(f) \overline{A^{B}_{B}(f)} = E[/mm]
Mit welcher Begründung kommst Du von der vorletzten zur letzten Zeile?
> Ist das so richtig?
Mit passenden Begründungen könnt's wohl richtig werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 05.06.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | | Sei f in [mm] $End(\IR^{n})$ [/mm] so dass $<f(v),f(w)>=<v,w>$ für alle $v,w$ in [mm] $\IR^{n}$. [/mm] Man zeige dass [mm] $A=\psi(f) \in [/mm] O(n)$ |
Beweis Ansatz :
Mit $B:= Basis \ von \ [mm] \IR^{n}$
[/mm]
$<f(v),f(w)> = <v,w>$
[mm] $\gdw \vphantom{lala}^{t}f(v)_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{f(w)_{B}}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{w}_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vphantom{lalala}^{t}(A^{B}_{B}(f)v_{B})\overline{(A^{B}_{B}(f)w_{B})}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}E\overline{w}_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B} [/mm] \ [mm] \vphantom{lala}^{t}(f)\overline{A^{B}_{B}(f)}\overline{w}_{B} [/mm] = [mm] \vphantom{lala}^{t}v_{B}E \overline{w}_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw A^{B}_{B}\ \vphantom{lala}^{t}(f) \overline{A^{B}_{B}(f)} [/mm] = E$
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Hallo,
> 1. irgendeine 2.besondere?
1
> konjugieren nicht!
> wohin ist A () verschwunden?
[mm] $A^{B}_{B}(<,>) [/mm] = E$
> Mit welcher Begründung kommst Du von der vorletzten zur letzten Zeile?
es ist doch:
[mm] $\vphantom{lalala}^{t}A=A^{-1} \gdw \vphantom{lala}^{t}AA \gdw \vphantom{lala}^{t}vw= \vphantom{lala}^{t}(f)(f)=E$ [/mm] ? ? ?
Korrigierte Version:
$<f(v),f(w)> = <v,w>$
[mm] $\gdw \vphantom{lala}^{t}f(v)_{B}A^{B}_{B}(<,>)f(w)_{B}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B}(<,>)w_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vphantom{lalala}^{t}(A^{B}_{B}(f)v_{B})(A^{B}_{B}(f)w_{B})=\vphantom{lala}^{t}v_{B}Ew_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw \vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B} [/mm] \ [mm] \vphantom{lala}^{t}(f)A^{B}_{B}(f)\overline{w}_{B} [/mm] = [mm] \vphantom{lala}^{t}v_{B}E w_{B}$
[/mm]
[mm] $\gdw A^{B}_{B}\ \vphantom{lala}^{t}(f) A^{B}_{B}(f) [/mm] = E$
stimmt das so?
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
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> Sei f in [mm]End(\IR^{n})[/mm] so dass [mm]=[/mm] für alle
> [mm]v,w[/mm] in [mm]\IR^{n}[/mm]. Man zeige dass [mm]A=\psi(f) \in O(n)[/mm]
>
> Beweis Ansatz :
>
> Mit [mm]B:= Basis \ von \ \IR^{n}[/mm]
>
>
> [mm] = [/mm]
>
> [mm]\gdw \vphantom{lala}^{t}f(v)_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{f(w)_{B}}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B}(<,>)\overline{w}_{B}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vphantom{lalala}^{t}(A^{B}_{B}(f)v_{B})\overline{(A^{B}_{B}(f)w_{B})}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}E\overline{w}_{B}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B} \ \vphantom{lala}^{t}(f)\overline{A^{B}_{B}(f)}\overline{w}_{B} = \vphantom{lala}^{t}v_{B}E \overline{w}_{B}[/mm]
>
> [mm]\gdw A^{B}_{B}\ \vphantom{lala}^{t}(f) \overline{A^{B}_{B}(f)} = E[/mm]
>
> Hallo,
>
> > 1. irgendeine 2.besondere?
>
> 1
>
>
> > konjugieren nicht!
>
> > wohin ist A () verschwunden?
>
> [mm]A^{B}_{B}(<,>) = E[/mm]
Hallo,
warum?
Wie bekommt man eigentlich die Darstellungsmatrix eines Skalarproduktes?
>
> > Mit welcher Begründung kommst Du von der vorletzten zur
> letzten Zeile?
> es ist doch:
> [mm] \vphantom{lalala}^{t}A=A^{-1} \gdw \vphantom{lala}^{t}AA=E [/mm]
> [mm] \gdw \vphantom{lala}^{t}vw= \vphantom{lala}^{t}(f)(f)=E
[/mm]
> ? ? ?
Hm. Vielleicht stelle ich hier mich heute besonders dämlich an, aber auch hier kapiere ich nicht den letzten Äquivalenzpfeil.
Genaugenommen verstehe ich noch nicht einmal die letzte Gleichung, denn links steht eine Zahl und rechts eine Matrix.
>
>
> Korrigierte Version:
>
>
> [mm] = [/mm]
>
> [mm]\gdw \vphantom{lala}^{t}f(v)_{B}A^{B}_{B}(<,>)f(w)_{B}=\vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B}(<,>)w_{B}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vphantom{lalala}^{t}(A^{B}_{B}(f)v_{B})(A^{B}_{B}(f)w_{B})=\vphantom{lala}^{t}v_{B}Ew_{B}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \vphantom{lala}^{t}v_{B}A^{B}_{B} \ \vphantom{lala}^{t}(f)A^{B}_{B}(f)\overline{w}_{B} = \vphantom{lala}^{t}v_{B}E w_{B}[/mm]
>
> [mm]\gdw A^{B}_{B}\ \vphantom{lala}^{t}(f) A^{B}_{B}(f) = E[/mm]
>
>
>
> stimmt das so?
Meine Anmerkungen/Kritikpunkte bleiben im wesentlichen die gleichen wie zuvor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 05.06.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Wie bekommt man die Darstellungsmatrix eines Skalarproduktes
Wenn s ein Skalarprodukt bezeichnet im [mm] $\IR^{n}$, [/mm] dann erhält man die Darstellungsmatrix zur Basis $B [mm] \in \IR^{n}$ [/mm] mit [mm] $D^{B}_{B}(s)=(s(b_{i}, b_{j})_{ij}$
[/mm]
> letzter Äquivalenzpfeil
Dann stimmt er nicht...??
> Anmerkungen
> GruB
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo,
>
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>
> > Wie bekommt man die Darstellungsmatrix eines
> Skalarproduktes
>
>
> Wenn s ein Skalarprodukt bezeichnet im [mm]\IR^{n}[/mm], dann
> erhält man die Darstellungsmatrix zur Basis [mm]B \in \IR^{n}[/mm]
> mit [mm]D^{B}_{B}(s)=(s(b_{i}, b_{j})_{ij}[/mm]
Hallo,
ja, so ist es.
Und in diesem Zusammenhang solltest Du nun mal über B, [mm] A^{B}_{B}(<,>) [/mm] und Deine Einheitsmatrix nachdenken.
Wo kommt die Einheitsmatrix denn nun her?
> > letzter Äquivalenzpfeil
>
> Dann stimmt er nicht...??
Das will ich nicht sagen. Ich würde halt gerne mit einem Argument überzeugt werden.
Gruß v. Angela
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