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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mo 21.11.2011 | | Autor: | imzadi |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe: sei V eukl.bzw. unitär, f ein Homomorphismus auf V und es gilt <f(v),v>=0 für alle v aus V.
Ich muß zeigen oder widerlegen,dass f= 0.
Für V euklidisch habe ich ein Gegenbeispiel gefunden und bin der Meinung das es auch zum Fall V unitär passt.Liege ich da falsch? Für eure Ratschläge bin ich sehr dankbar.
Lg imzadi
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum auf anderen Seiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe hier eine Aufgabe: sei V eukl.bzw. unitär, f ein
> Homomorphismus auf V und es gilt <f(v),v>=0 für alle v aus
> V.
> Ich muß zeigen oder widerlegen,dass f= 0.
> Für V euklidisch habe ich ein Gegenbeispiel gefunden und
> bin der Meinung das es auch zum Fall V unitär passt.Liege
> ich da falsch? Für eure Ratschläge bin ich sehr dankbar.
Du bist ja ein kleiner Scherzkeks ! Du hast also ein Gegenbeispiel im eukl. Fall gefunden. Und willst jetzt wissen, ob das auch im unitären Fall passt.
Ja , mein Gott, wer soll Dir antworten, wenn Du das Gegenbeispiel für Dich behältst ?
FRED
>
> Lg imzadi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum auf anderen
> Seiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 21.11.2011 | | Autor: | imzadi |
Also ,hier ist es: 2mal2-Matrix mit Spalten [0 -1],[1 0].Und bezueglich Standardskalarprodukts. Ich habe nur gedacht- im unitären Fall ist ja das gleiche mit konj.kompl.transponiert. Aber wieso wird die Aufgabe dann in zwei Teile unterteilt,hm.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ,hier ist es: 2mal2-Matrix mit Spalten [0 -1],[1
> 0].Und bezueglich Standardskalarprodukts. Ich habe nur
> gedacht- im unitären Fall ist ja das gleiche mit
> konj.kompl.transponiert. Aber wieso wird die Aufgabe dann
> in zwei Teile unterteilt,hm.
Du hast also [mm] f((v_1,v_2)^T)=(v_2,-v_1)^T
[/mm]
Im eukl. Fall ist das ein prima Gegenbeispiel, denn es ist <f(v),v> =0 für alle v [mm] \in \IR^2.
[/mm]
Im unitären Fall ist das aber kein Gegenbeispiel ! Suche mal ein v [mm] \in \IC^2 [/mm] mit $<f(v),v> [mm] \ne [/mm] 0$
Man kann zeigen: Ist V ein unitärer Raum und f:V [mm] \to [/mm] V linear mit <f(v),v)=0 für alle v [mm] \in [/mm] V, so ist f=0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mo 21.11.2011 | | Autor: | imzadi |
Vielen Dank,jetzt habe ich verstanden warum es kein Gegenbeispiel im C ist. aber mit dem Beweis tue ich mir schwer. Vielleicht könntest du mir einen kleinen Denkanstoß geben ,in welche Richtung es gehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
In [mm] \IC [/mm] haben wir für v,w [mm] \in [/mm] V:
(*) $4<f(v),w>= <f(v+w),v+w>-<f(v-w),v-w>+i<f(v+iw),v+iw>-i<f(v-iw),v-iw>$
Ist nun <f(v),v>=0 für alle v [mm] \in [/mm] V, so folgt aus (*):
<f(v),w> = 0 für alle v,w [mm] \im [/mm] V.
Mit w:=f(v) bekommt man: <f(v),f(v)>=0 für alle v [mm] \in [/mm] V, also f(v)=0 für alle v [mm] \in [/mm] V,
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | imzadi |
Eine Frage habe ich noch dazu:wieso geht eigentlich das Gegenbeispiel nicht im unitaerem Raum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:38 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten:
$ [mm] f((v_1,v_2)^T)=(v_2,-v_1)^T [/mm] $
Nun berechne mal <f(v),v> mit [mm] $v=(1,i)^T
[/mm]
Dabei beachte wie das Skalarprodukt auf [mm] \IC^2 [/mm] definiert ist:
[mm] <(z_1,z_2), (w_1,w_2)> [/mm] = [mm] z_1*\overline{w_1}+z_2*\overline{w_2}
[/mm]
( [mm] (z_1,z_2), (w_1,w_2) \in \IC^2)
[/mm]
FRED
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