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| Aufgabe | Gegeben sei das Skalarprodukt
(.,.)g :R [mm] \le [/mm] 2 (x) x R [mm] \le [/mm] 2 (x) [mm] \rightarrow [/mm] R
(p,g)g: [mm] p_2q_2+2p_1q_1+p_1q_0+p_0q_1+2p_0q_0
[/mm]
für den Vektorraum R [mm] \le [/mm] 2 (x) sowie die Basis
B= [mm] (x^2,1/\wurzel{2}(-x+1),1/\wurzel{6}(x+1)) [/mm] des R [mm] \le [/mm] 2 (x)
a)Zeigen Sie, dass B eine Orthonomalbasis des R [mm] \le [/mm] 2 (x) ist.
b)Berechnen Sie die Abbildungsvorschrift der Koordinatenabbildung [mm] K_B [/mm] |
Hallo,
die erste Aufgabe a habe ich gelöst.Meine Frage zu a ist, ob ich prüfen muss, ob die Vektoren $ [mm] (b_1,b_2),(b_2,b_3) [/mm] $ und $ [mm] (b_1,b_3) [/mm] $ orthogonal sind?
Zu b : Wie kann ich die Basis als einen Polynom darstellen?
Gruß
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei das Skalarprodukt
> (.,.)g :R [mm]\le[/mm] 2 (x) x R [mm]\le[/mm] 2
> (x) [mm]\rightarrow[/mm] R
> (p,g)g:
> [mm]p_2q_2+2p_1q_1+p_1q_0+p_0q_1+2p_0q_0[/mm]
>
> für den Vektorraum R [mm]\le[/mm] 2 (x) sowie die Basis
> B= [mm](x^2,1/\wurzel{2}(-x+1),1/\wurzel{6}(x+1))[/mm] des R [mm]\le[/mm] 2
> (x)
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> a)Zeigen Sie, dass B eine Orthonomalbasis des R [mm]\le[/mm] 2 (x)
> ist.
>
> b)Berechnen Sie die Abbildungsvorschrift der
> Koordinatenabbildung [mm]K_B[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> die erste Aufgabe a habe ich gelöst.Meine Frage zu a ist,
> ob ich prüfen muss, ob die Vektoren [mm](b_1,b_2),(b_2,b_3)[/mm]
> und [mm](b_1,b_3)[/mm] orthogonal sind?
Hallo,
ja, das mußt Du prüfen.
Da nach einer Orthonormalbasis gefragt ist, mußt Du auch noch herausfinden, ob jeder der drei vektoren normiert ist.
>
> Zu b : Wie kann ich die Basis als einen Polynom
> darstellen?
???
Ist Dir klar, was die Koordinatenabbildung [mm] K_B [/mm] macht?
Sie ordnet jedem Element Deines Vektorraumes [mm] \IR_{\le 2}[x] [/mm] einen Spaltenvektor des [mm] \IR^3 [/mm] zu, und zwar tut sie das wie folgt:
das Polynom [mm] a*x^2+b*\bruch{1}{\wurzel{2}}(-x+1)+c*\bruch{1}{\wurzel{6}}(x+1) [/mm] wird abgebildet auf den Spaltenvektor [mm] \vektor{a\\b\\c}.
[/mm]
Du sollst nun sagen, was
[mm] K_B(ax^2+bx+c) [/mm] ist.
Schreibe dazu zunächst das Polynom [mm] ax^2+bx+c [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren Deiner Basis.
Gruß v. Angela
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habe ich gemacht und bekomme für
[mm] K_B(ax^2+bx+c)= \begin{pmatrix} a \\ -1/\wurzel{2}b+1/\wurzel{6}c \\ 1/\wurzel{2}b+1/\wurzel{6}c \end{pmatrix}
[/mm]
raus.Ist das so richtig?
Gruß
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> habe ich gemacht und bekomme für
>
>
>
>
> [mm]K_B(ax^2+bx+c)= \begin{pmatrix} a \\
-1/\wurzel{2}b+1/\wurzel{6}c \\
1/\wurzel{2}b+1/\wurzel{6}c \end{pmatrix}[/mm]
>
> raus.
> Ist das so richtig?
Hallo,
es sieht mir nicht richtig aus.
(Du kannst es selbst prüfen, indem Du schaust, ob [mm] a*b_1+(-1/\wurzel{2}b+1/\wurzel{6}c)b_2+( 1/\wurzel{2}b+1/\wurzel{6}c)b_3=ax^2+bx+c.)
[/mm]
Wie hast Du Dein Ergebnis denn gefunden? Ich sehe, was Du getan hast:
Du hast das Polynom [mm] ab_1+bb_2+cc_3 [/mm] geschrieben als Linearkombination bzgl. der Basis [mm] (x^2, [/mm] x, 1) und den Koordinatenvektor bzgl dieser Basis aufgestellt.
Gesucht ist aber das Polynom [mm] ax^2+bx+c [/mm] also Linearkombination der [mm] b_i, [/mm] also die Koeffizienten r,s,t mit [mm] ax^2+bx+c=rb_1+sb_2+tb_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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[mm] ax^2+bx+c [/mm] = [mm] rx^2+(-1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t)x+1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert
a = r
b = [mm] -1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t
[/mm]
c = [mm] 1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t
[/mm]
Und das kann man als Matrix zusammenfassen [mm] K_B [/mm] ist dann:
[mm] \begin{pmatrix}
r \\
-1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t \\
1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t
\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das so nicht richtig?
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Hallo,
[mm] ax^2+bx+c=rb_1+sb_2+t*b_2
[/mm]
<==>
> [mm]ax^2+bx+c[/mm] =
> [mm]rx^2+(-1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t)x+1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t[/mm]
Soweit ist das ja nicht verkehrt, und auch ein Koeffizientenvergleich ist eine gute Idee.
Wir suchen aber r,s,t (in Abhängigkeit von a,b,c), denn Du sollst doch [mm] ax^2+bx+c [/mm] als Koordinatenvektor bzgl [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] schreiben.
Was hast Du getan? Du hast das Polynom [mm] rb_1+sb_2+tb_3 [/mm] als Koordinatenvektor bzgl. [mm] (x^2, [/mm] x, 1) geschrieben.
Gruß v. Angela
>
> Koeffizientenvergleich liefert
>
> a = r
> b = [mm]-1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t[/mm]
> c = [mm]1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t[/mm]
>
> Und das kann man als Matrix zusammenfassen [mm]K_B[/mm] ist dann:
>
> [mm]\begin{pmatrix} r \\
-1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t \\
1/\wurzel{2}s+1/\wurzel{6}t \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das so nicht richtig?
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Ich habe als Antwort
[mm] K_B(ax^2+bx+c) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a \\ 1/\wurzel{2}(c-b) \\\wurzel{6}/2(b+c) \end{pmatrix}
[/mm]
So ist es aber richtig,oder?
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> Ich habe als Antwort
>
>
>
> [mm]K_B(ax^2+bx+c)[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a \\
1/\wurzel{2}(c-b) \\
\wurzel{6}/2(b+c) \end{pmatrix}[/mm]
>
> So ist es aber richtig,oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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