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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 Mo 27.09.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | Für welche [mm]n\times n[/mm] -Matrizen A mit Einträgen aus R wird durch
[mm] (x_{1},\ldots, x_{n})AA^T \vektor{x_{1} \\ \Idots \\ x_{n}}
[/mm]
ein Skalarprodukt des [mm] \IR- [/mm] VR [mm] \IR^n [/mm] definiert? |
ich weiß folgendes: Ein Skalarprodukt liegt vor, wenn gilt:
Die Strukturmatrix [mm] (AA^T) [/mm] ist positiv definit und hermitisch.
Das heißt, von [mm] AA^T [/mm] sind alle Eigenwerte positiv und es muss gelten, [mm] AA^T [/mm] = [mm] (AA^T)^T [/mm] = [mm] A^{T}A \Rightarrow A=A^T
[/mm]
Ich weiß, dass das nicht ausreicht, aber was kann ich denn hier noch sagen?
Vielen dank
m0ppel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für welche [mm]n\times n[/mm] -Matrizen A mit Einträgen aus R wird
> durch
> [mm](x_{1},\ldots, x_{n})AA^T \vektor{x_{1} \\ \Idots \\ x_{n}}[/mm]
>
> ein Skalarprodukt des [mm]\IR-[/mm] VR [mm]\IR^n[/mm] definiert?
> ich weiß folgendes: Ein Skalarprodukt liegt vor, wenn
> gilt:
> Die Strukturmatrix [mm](AA^T)[/mm] ist positiv definit und
> hermitisch.
Du meinst positiv definit und symmetrisch.
> Das heißt, von [mm]AA^T[/mm] sind alle Eigenwerte positiv und es
> muss gelten, [mm]AA^T[/mm] = [mm](AA^T)^T[/mm] = [mm]A^{T}A \Rightarrow A=A^T[/mm]
Da hast du dich aber verrechnet. Der Ausdruck $(A [mm] A^T)^T$ [/mm] ist formal nicht gleich [mm] $A^T [/mm] A$.
Und selbst wenn, dann wuerde daraus nicht umbedingt folgen, dass $A = [mm] A^T$ [/mm] ist.
Rechne es nochmal nach...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mo 27.09.2010 | | Autor: | fred97 |
1. [mm] AA^T [/mm] ist symmetrisch !!!
2. Zeige :
[mm] AA^T [/mm] ist positiv definit [mm] \gdw [/mm]
$ [mm] (x_{1},\ldots, x_{n})AA^T \vektor{x_{1} \\ \Idots \\ x_{n}} [/mm] > 0 $ für jedes [mm] (x_{1},\ldots, x_{n}) \ne [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm]
A ist invertierbar.
FRED
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