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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Di 03.11.2009 | | Autor: | amanna |
| Aufgabe | Hey, es wäre toll, wenn mir jemand hier weiterhelfen könnte...
wir haben einen endlich dimensionalen VR W und eine Projektion P: W-->W. Nun sollen wir zeigen,dass es ein Skalar-
produkt gibt, derart dass P die orthog. Projektion auf sein Bild ist... |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Matheboard
Meine Überlegungen dazu: eine orth Projektion lässt folgendes zu: V ist dirSumme aus UVR U und dessen orth Komplement. Daraus lässt sich eine Basis konstruieren: (w1,...,wk,wk+1,....,wn).
Der kern ist P(w)-w, das Bild P(w) für alle w in W.
Aber wie machen ich daraus ein SP und beweise dies???
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> Hey, es wäre toll, wenn mir jemand hier weiterhelfen
> könnte...
> wir haben einen endlich dimensionalen VR W und eine
> Projektion P: W-->W. Nun sollen wir zeigen,dass es ein
> Skalar-
> produkt gibt, derart dass P die orthog. Projektion auf
> sein Bild ist...
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: Matheboard
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Gib bitte immer den direkten Link zum Post im anderen Forum an, so daß man sich schnell orientieren kann, ob überhaupt noch Hilfe notwendig ist.
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> Meine Überlegungen dazu: eine orth Projektion lässt
> folgendes zu: V ist dirSumme aus UVR U und dessen orth
> Komplement. Daraus lässt sich eine Basis konstruieren:
> (w1,...,wk,wk+1,....,wn).
Ich würde einen Schritt tiefer anfangen:
Da P eine Projektion ist, gilt [mm] W=bildP\oplus [/mm] KernP - das ist bekannt, denke ich.
Damit gibt es eine Basis
[mm] (w_1,...,w_k, w_{k+1},....,w_n) [/mm] so, daß die ersten k Basisvektoren aus dem Bild sind, die darauffolgenden aus dem Kern.
Nun will man es ja so haben, daß [mm] \perp< w_{k+1},....,w_n>.
[/mm]
Dann organisieren wir unser Skalarprodukt [mm] \sigma [/mm] halt entsprechend!
Ich definiere es jetzt einfach so, daß unsere Basis eine ONB ist:
[mm] \sigma(b_i,b_j):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i\not=j \\ 1, & \mbox{für } i=j \end{cases}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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