Skalarprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 03.05.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | 1. Sei V der Raum der stetigen, reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0,1]
Definiert [mm] :=\integral_{0}^{1}{x(t)*y(t) dt} [/mm] ein Skalarprdukt auf V?
2. Sein [mm] V=\IR[x] [/mm] und sei deg(p) der Grad von p.
Definiert <p,q>:=max{deg(p),deg(q)} ein Skalarprodukt auf V. |
hallo mathefans,
hab kleine Probleme mit diesen beiden Aufgaben. WEiß dass ein Skalarprodukt die Eigenschaften hat, dass es symmetrisch und positiv definit ist.
Das nachzuprüfen ist auch nicht mein Problem.
Dieses besteht im Wesentlichen aus dem Aufgabenverständnis.
was muss ich mir bei 1. unter stetigen reellwertigen Funktionen vorstellen. Sind damit einfach nur die Polynome gemeint??
Wenn ja, dann ist die Aussage ja auf jeden fall richtig...oder?
zu 2.:
wenn ich hier die positive Definitheit überprüfen möchte, bei welchen ja p dann nicht 0 sein darf. Heißt das jetzt speziell in diesem Fall entweder dass ich nicht das Nullpolynom nehmen darf, oder keine Funktionen mit Grad =0, sprich alle konstanten Polynome...z.b. p(x)=1
Meine Ansatz dazu wäre dass dies kein Skalarprodukt definiert...
Hoffe ihr könnt mich aufklären bzw. stellung dazu beziehen...
Dankeschön,
die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Do 03.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Symmetrie ist bei beiden gegeben
bilinearität ebenfalls
positiv definitheit beim ersten auf alle Fälle
beim zweiten sind konstante Funktionen wie du schon erkannt hast ein Gegenbeispiel für die positive Definitheit
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Hallo kitti, Hallo Werner,
ich glaube, das zweite ist nicht mal ne BLF.
Mit [mm] $p_1(x)=x^4 [/mm] , [mm] p_2(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $q(x)=x^3$ [/mm] ist
[mm] $\langle p_1+p_2,q\rangle [/mm] = 4$ und
[mm] $\langle p_1,q\rangle [/mm] + [mm] \langle p_2,q\rangle [/mm] = 4+3 [mm] =7\ne [/mm] 4$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 03.05.2007 | | Autor: | kittie |
also sind meine Gedanken richtig gewesen und ich kann beruhigt die erste mit ja und die zwite Frage mit nein beantworten??
vg, die kittie
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Hallo kittie,
ja, ruhigen Gewissens 
Gruß
schachuzipus
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