Sinus und Cosinus < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | ein beliebiges Dreieck abc, bei dem gilt ac=6 und bc=10 (dies sind die Strecken) und ac liegt gegenüber dem Winkel [mm] \beta[/mm] = 30° berechne näherungsweise die Strecke ab, sowie die restlichen Winkel.<br>
|
<br>
Soweit so gut, was ich machen muß ist mir soweit eigentlich klar, nur an einer Stelle hapert es ein wenig, da unser Dozent möchte, dass wir ohne Taschenrechner arbeiten.
Den sin [mm]\alpha[/mm] kann ich über den Sinussatz berechnen und erhalte nach meinen Überlegungen dafür sin [mm]\alpha[/mm]= [mm]\frac{5}{6}[/mm] . Dass die Winkel nicht eindeutig sind, ist mir auch klar, das heißt ich werde für den Winkel [mm]\alpha[/mm]zwei Lösungen erhalten, mit denen ich dann über die Innenwinkelsumme den dritten Winkel bestimmen kann und dann anschließend über den Kosinussatz die restlichen Angaben.
Meine Frage hierzu lautet nun, wie kann ich möglichst genau und elegant den sinunswinkelwert von [mm] \frac{5}{6}[/mm] bestimmen. Die Werte für 0°,30°,45°,60° und 90° sind mir geläufig.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 27.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ein beliebiges Dreieck abc, bei dem gilt ac=6 und bc=10
> (dies sind die Strecken) und ac liegt gegenüber dem Winkel
> [mm]\beta[/mm] = 30° berechne näherungsweise die Strecke ab, sowie
> die restlichen Winkel.<br>
Schreibe doch die Strecken mit Großbucstaben, das ist die übliche Notation.
>
>
>
> <br>
> Soweit so gut, was ich machen muß ist mir soweit
> eigentlich klar, nur an einer Stelle hapert es ein wenig,
> da unser Dozent möchte, dass wir ohne Taschenrechner
> arbeiten.
>
> Den sin [mm]\alpha[/mm] kann ich über den Sinussatz berechnen und
> erhalte nach meinen Überlegungen dafür sin [mm]\alpha[/mm]=
> [mm]\frac{5}{6}[/mm] . Dass die Winkel nicht eindeutig sind, ist mir
> auch klar, das heißt ich werde für den Winkel [mm]\alpha[/mm]zwei
> Lösungen erhalten, mit denen ich dann über die
> Innenwinkelsumme den dritten Winkel bestimmen kann und dann
> anschließend über den Kosinussatz die restlichen
> Angaben.
>
Berechne über den Kösinussatz die Seite AB, es gilt:
[mm] \overline{AC}^{2}=\overline{AB}^{2}+\overline{BC}^{2}-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\beta)
[/mm]
Das wird mit den bekannten Größen eine quadratische Gleichung für die Seite [mm] \overline{AB}
[/mm]
Beachte, dass [mm] \cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}{2}}
[/mm]
> Meine Frage hierzu lautet nun, wie kann ich möglichst
> genau und elegant den sinunswinkelwert von [mm]\frac{5}{6}[/mm]
> bestimmen. Die Werte für 0°,30°,45°,60° und 90° sind
> mir geläufig.
Suchst du [mm] $\varphi$, [/mm] so dass [mm] \sin(\varphi)=\frac{5}{6} [/mm] oder suchst du [mm] \sin(\varphi)=\frac{5}{6}\pi [/mm] oder suchst du [mm] \sin\left(\frac{5}{6}\right)
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort.
Ich suche [mm] \gamma[/mm] so dass sin([mm] \gamma[/mm])= [mm] \frac{5}{6}[/mm].
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Tatsache, dass die Winkelfunktionen für einige Winkel (genauer: für abzählbar viele) algebraische Werte zurückliefern, sollte dich nicht darüber hinwegtäuschen, dass die Sinusfunktion ebenso wie ihre Umkehrfunktion eine transzendente Funktion ist. Will sagen: elegant ist hier nicht.
Die von dir angegebenen algebraischen Werte des Sinus und des Kosinus kann man ja leicht via Pythagoras verifizieren. Es gibt auch noch weitere solcher Werte, das sind dann aber grundsätzlich verschachtelte Wurzelterme. Von daher kann man sagen: für den Wert 5/6 gibt es keine rationale Zahl [mm] \gamma, [/mm] so dass [mm] sin(\gamma)=5/6 [/mm] ist und es wird kein Weg daran vorbeiführen, als den Winkel mit der Arkussinus-Taste des TR auszurechnen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Di 27.08.2013 | | Autor: | Grapadura |
Hallo,
danke für die Antwort, dann habe ich mir unnötigerweise den Kopf zerbrochen. Das heißt also, dass so eine Aufgabe für eine Klausur, in der man keinen Taschenrechner benutzen darf, wohl nicht geeignet ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Di 27.08.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Ich würde sagen, dass es ganz darauf ankommt wie die Aufgabe gestellt ist. Man kann mit Sin,Cos,Tan auch sehr viel ohne TR machen. - gewisse Werte weiß man. (sollte man wissen)
Natürlich ist eine Aufgabe wie deine in welcher du [mm] sin(\phi) [/mm] = [mm] \frac{5}{6} [/mm] bestimmen sollst- ohne TR- ein wenig gewagt als Klausuraufgabe ;)
Gruß Thomas
|
|
|
|
