Sinus komplexer Zahlen zeigen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bekanntlich ist [mm] $\left| \sin z \right| \le [/mm] 1$ für alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Zeigen Sie, dass dies für komplexe Argumente nicht mehr gilt.
Nehmen Sie dazu an, dass es ein C > 0 gibt, so dass [mm] $\left| \sin z \right| \le [/mm] C$ für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] erfüllt ist, und konstruieren Sie ein z, welches dieser Ungleichung widerspricht. |
Hallo zusammen,
es geht, wie aus der Fragestellung zu entnehmen ist, um den Sinus komplexer Zahlen. Dieser ist in [mm] $\IC$ [/mm] definiert als:
[mm] $\sin [/mm] z = [mm] \bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2i}$
[/mm]
Mir ist nicht klar, wie ein z dieser Ungleichung widersprechen soll. Der Betrag liefert immer etwas positives, somit ist die Ungleichung immer Wahr (auch für [mm] $\left| \sin z \right| [/mm] = 0$, da 0 < C).
Schonmal danke im Vorraus für einen Schubs in die richtige Richtung!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Fr 08.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Du hast die Idee diese Widerspruchsbeweises nicht verstanden.
Setze Dein Argument fort. Da Du kein Problem siehst, kannst Du nun ein C angeben, so dass für alle z die Ungleichung erfüllt ist. Also: Nenne Dein C!
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Erstmal danke für die Antwort! Ich antworte erst jetzt, da ich die letzten 24 Stunden auf einen Geistesblitz gehofft hatte, der aber leider nicht eingeschlagen ist.
Bei dem Wiederspruchsbeweis geht es ja darum, dass ich die o.g. Ungleichung als gegeben annehme und diese dann durch Umformen zu einem Wiederspruch führe (bin da noch nicht ganz sicher, erstes Semester...).
Wie sollte ich nun weiter machen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 So 10.11.2013 | | Autor: | chrisno |
es ist wirklich hilfreich, das mal zu probieren. Nimm ein C, von dem Du vermutest, dass es reicht. Dann spiel ein wenig mit dem sin herum, bis Du merkst, wie Du diese Grenze C sprengen kannst.
Dann hast Du auch den Weg für einen allgemeinen Beweis.
Angenommen, es gäbe ein solches C. Dann wähle ich ein z, das irgendwie mit Hilfe dieses C berechnet wird und zeige, dass |sin(z)| dann größer ist als C.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Mo 11.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für die Antwort! Ich antworte erst jetzt, da
> ich die letzten 24 Stunden auf einen Geistesblitz gehofft
> hatte, der aber leider nicht eingeschlagen ist.
>
> Bei dem Wiederspruchsbeweis geht es ja darum, dass ich die
> o.g. Ungleichung als gegeben annehme und diese dann durch
> Umformen zu einem Wiederspruch führe (bin da noch nicht
> ganz sicher, erstes Semester...).
> Wie sollte ich nun weiter machen?
Berechne [mm] $|\sin(i*n)|$ [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
FRED
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 11.11.2013 | | Autor: | easysurfer |
Haben es in der Uni nun aufgeklärt, ich hatte es viel zu kompliziert gemacht :/ Habe den Betrag als [mm] $\wurzel{sin(z)*sin(z)}$ [/mm] aufgefasst und nicht gesehen, dass in die 2i einfach rausziehen kann.
Andere haben die Aufgabe über den Limes gegen Unendlich gemacht, aber zur Vollständigkeit hier der (richtige) Lösungsweg, den der Tutor präsentiert hat:
$z = i*k, k [mm] \in \IN [/mm] , k > 1$
[mm] $\left| sin(i*k) \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left| e^k-e^{-k} \right| [/mm] > C$
Nun kann man eine Abschätzung vornehmen, um die Betragstriche aufzulösen (daher k > 1), dann ergibt sich:
[mm] $\bruch{1}{2}*\left| e^k-e^{-k} \right| \ge \bruch{1}{2}*\left| e^k-1 \right| [/mm] > C
[mm] $e^k [/mm] > 2C+1$
$k > ln(2C+1)$
> Das kann man mehr oder weniger elementar machen - was habt ihr
> denn zur Verfügung? (Z.B. folgt diese Behauptung sofort mit
> Liouville, den ihr aber vielleicht nicht verwenden dürft bzw.
> noch nicht zur Verfügung habt?!)
Wurde auch genannt, allerdings ist dieser Satz wohl erst im 5ten Semester dran...
> (Das kannst Du übrigens rein per Definitionem nachrechnen:
> [mm] $\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty z^k/k!$ [/mm] und [mm] $\sin(z)=(\exp(iz)-\exp(-iz))/2$ [/mm] >liefern das unter
> Beachtung der Konvergenz der [mm] $\exp$-Reihe [/mm] für alle komplexen Zahlen!)
> Ich mache es mal anders wie Fred und schaue mir [mm] $\cos(in)$ [/mm] damit an:
> [mm] $\cos(in)=\sum_{\ell=0}^\infty \frac{{(-1)}^\ell (in)^{2\ell}}{(2\ell)!}=\sum_{\ell=0}^\infty \frac{n^{2\ell}}{(2\ell)!}\;\ge\;\frac{n^2}{2}$
[/mm]
> Ist Dir diese Abschätzung (und der Rest) damit klar?
Den Ansatz habe ich verstanden, die Abschätzung auf jeden Fall auch. Damit ist ja gezeigt, dass die Summe auf jeden Fall größer [mm] $\bruch{n^2}{2}$ [/mm] ist und damit die Grenze schon gesprengt.
Danke auf jeden Fall euch allen, Mathe kann so frustrierend sein, aber wenn mans dann kapiert... :)
P.S. Ich sehe dass dieser Post wieder als (offene) Frage eingetragen wurde. Wie kann ich diese auf beantwortet stellen? Bei einer Mitteilung darf man ja keine Frage/Antwort reinstellen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bekanntlich ist [mm]\left| \sin z \right| \le 1[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR[/mm]. Zeigen Sie, dass dies für komplexe Argumente
> nicht mehr gilt.
> Nehmen Sie dazu an, dass es ein C > 0 gibt, so dass [mm]\left| \sin z \right| \le C[/mm]
> für alle [mm]z\in\IC[/mm] erfüllt ist, und konstruieren Sie ein
> z, welches dieser Ungleichung widerspricht.
> Hallo zusammen,
>
> es geht, wie aus der Fragestellung zu entnehmen ist, um den
> Sinus komplexer Zahlen. Dieser ist in [mm]\IC[/mm] definiert als:
> [mm]\sin z = \bruch{e^{iz}\red{\;+\;}e^{-iz}}{2i}[/mm]
das ist übrigens falsch:
[mm] $\sin(z)=\frac{e^{iz}\blue{\text{ -- }}e^{-iz}}{2i}$
[/mm]
gehört da hin!
>
> Mir ist nicht klar, wie ein z dieser Ungleichung
> widersprechen soll. Der Betrag liefert immer etwas
> positives, somit ist die Ungleichung immer Wahr (auch für
> [mm]\left| \sin z \right| = 0[/mm], da 0 < C).
>
> Schonmal danke im Vorraus für einen Schubs in die richtige
> Richtung!
Das kann man mehr oder weniger elementar machen - was habt ihr
denn zur Verfügung? (Z.B. folgt diese Behauptung sofort mit
![[]](/images/popup.gif) Liouville, den ihr aber vielleicht nicht verwenden dürft bzw.
noch nicht zur Verfügung habt?!)
Zu einer "mehr elementaren Methode":
Fred hat Dich da ja schon in die richtige Richtung geschubst, aber warum er
Dich dazu motiviert:
Reihendarstellung von Sinus und Kosinus, Wiki.
(Das kannst Du übrigens rein per Definitionem nachrechnen:
[mm] $\exp(z)=\sum_{k=0}^\infty z^k/k!$ [/mm] und [mm] $\sin(z)=(\exp(iz)-\exp(-iz))/2$ [/mm] liefern das unter
Beachtung der Konvergenz der [mm] $\exp$-Reihe [/mm] für alle komplexen Zahlen!)
Ich mache es mal anders wie Fred und schaue mir [mm] $\cos(in)$ [/mm] damit an:
[mm] $\cos(in)=\sum_{\ell=0}^\infty \frac{{(-1)}^\ell (in)^{2\ell}}{(2\ell)!}=\sum_{\ell=0}^\infty \frac{n^{2\ell}}{(2\ell)!}\;\ge\;\frac{n^2}{2}$
[/mm]
Ist Dir diese Abschätzung (und der Rest) damit klar?
Gruß,
Marcel
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