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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | 1. Frage: [mm] a_n (1-\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
2. Frage: [mm] b_n (n*cos(n*\pi)) [/mm] |
Hallo,
ich habe meine Probleme mit der Berechnung von Sinus und Kosinus.
In der Musterlösung steht, dass [mm] b_n (n*cos(n*\pi)) [/mm] divergent ist weil Für die Teilfolge der geraden Glieder (c_2n) gilt c_2n = 2n, d.h. diese Teilfolge divergiert, damit auch die ganze Folge.
Ich weiß aber immer noch nicht WARUM die Folge divergiert und wie ich, dass Beweisen könnte über eine Rechnung.
2. Frage: In der Musterlösung steht, dass lim [mm] (1-\bruch{1}{n^2})^n= [/mm] lim [mm] (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n})^n= \bruch{1}{e} [/mm] * e =1
Ich komme zwar auf auf lim [mm] a_n=1 [/mm] aber ich habe eine anderen Lösungsweg und wollte Fragen ob ich dabei richtig Vorgegangen bin.
Meine Lösung ist: [mm] lim(1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] , da [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] gegen 0 Konvengiert und 1 gegen sich selbst ist [mm] lim(1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] = [mm] lim(1-0)^n=1 [/mm] - Richtig?
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Hallo Hero,
> 1. Frage: [mm]a_n (1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
> 2. Frage: [mm]b_n (n*cos(n*\pi))[/mm]
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> Hallo,
> ich habe meine Probleme mit der Berechnung von Sinus und
> Kosinus.
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> In der Musterlösung steht, dass [mm]b_n (n*cos(n*\pi))[/mm]
> divergent ist weil Für die Teilfolge der geraden Glieder
> (c_2n) gilt c_2n = 2n, d.h. diese Teilfolge divergiert,
> damit auch die ganze Folge.
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> Ich weiß aber immer noch nicht WARUM die Folge divergiert
> und wie ich, dass Beweisen könnte über eine Rechnung.
Naja, wir nehmen uns mal die Teilfolge mit den ganzen geraden Glieder.
Witzigerweise ist ja [mm] \cos(2n\pi)=1. [/mm] Und das für alle n.
Es bleibt also stehen: [mm] \lim_{n\to\infty}2n*\underbrace{\cos(2n\pi)}_{=1}=\lim_{n\to\infty}2n\longrightarrow \infty
[/mm]
Das heißt mit wachsenden n geht die Folge gegen unendlich. Da ist es egal, was mit n=1,3,5,7,... passiert.
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> 2. Frage: In der Musterlösung steht, dass lim
> [mm](1-\bruch{1}{n^2})^n=[/mm] lim [mm](1-\bruch{1}{n})^n[/mm] *
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n= \bruch{1}{e}[/mm] * e =1
> Ich komme zwar auf auf lim [mm]a_n=1[/mm] aber ich habe eine
> anderen Lösungsweg und wollte Fragen ob ich dabei richtig
> Vorgegangen bin.
>
> Meine Lösung ist: [mm]lim(1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm] , da
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] gegen 0 Konvengiert und 1 gegen sich selbst
> ist [mm]lim(1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm] = [mm]lim(1-0)^n=1[/mm] - Richtig?
Nein. so funktioniert das ganze nicht.
[mm] 1^\infty [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck. Man kann darüber nix sagen.
gegenbeispiel für deine Argumentation findet man z.B. hier: [mm] a_n=(1+1/n)^n.
[/mm]
Es gilt [mm] a_n\to{e}.
[/mm]
Bei obiger Folge [mm] b_n [/mm] sollte man immer irgendwie mit der berühmten Folge für die eulersche Zahl arbeiten.
Grüße
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