Sinus & Cosinus Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien $a,b > 0$. Berechnen Sie
[mm] $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d \varphi}{a^2\sin^2{\varphi} + b^2\cos^2{\varphi}}$ [/mm] |
Hallo zusammen. Ich stecke ein wenig in den Klausurvorbereitungen und blieb an dieser Aufgabe hängen.
Ich hab viel hin und her probiert kam aber zu keinem rechten Ergebnis. Glücklicherweise wurden für diese Übungen Lösungen hinterlegt. Unglücklicherweise versteh ich die aber nicht.
Die Lösung schaut wie folgt aus:
[mm] $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d \varphi}{a^2\sin^2{\varphi} + b^2\cos^2{\varphi}} [/mm] = [mm] \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\cos^2{\varphi}} d\varphi}{a^2\tan^2{\varphi} + b^2} [/mm] = [mm] \int_{0}^{\infty}\frac{dt}{a^2t^2 + b^2} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2ab}$
[/mm]
So. Die erste Gleichheit ist trivial, darauf kam ich auch gleich, wusste dann aber nicht weiter.
Und prompt beginnen die Probleme. Es ist klar das Substituiert wurde. $t = [mm] tan^2$. [/mm] Aber wieso verschwindet oben der Kosinus? Und noch verrückter erscheint mir, dass das Integral plötzlich gegen unendlich strebt.
Danke schon einmal für die Hilfe.
Liebe Grüße, Highchiller
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Fr 29.07.2011 | | Autor: | abakus |
> Es seien [mm]a,b > 0[/mm]. Berechnen Sie
> [mm]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d \varphi}{a^2\sin^2{\varphi} + b^2\cos^2{\varphi}}[/mm]
>
> Hallo zusammen. Ich stecke ein wenig in den
> Klausurvorbereitungen und blieb an dieser Aufgabe hängen.
>
> Ich hab viel hin und her probiert kam aber zu keinem
> rechten Ergebnis. Glücklicherweise wurden für diese
> Übungen Lösungen hinterlegt. Unglücklicherweise versteh
> ich die aber nicht.
>
> Die Lösung schaut wie folgt aus:
> [mm]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d \varphi}{a^2\sin^2{\varphi} + b^2\cos^2{\varphi}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\cos^2{\varphi}} d\varphi}{a^2\tan^2{\varphi} + b^2} = \int_{0}^{\infty}\frac{dt}{a^2t^2 + b^2} = \frac{\pi}{2ab}[/mm]
>
> So. Die erste Gleichheit ist trivial, darauf kam ich auch
> gleich, wusste dann aber nicht weiter.
> Und prompt beginnen die Probleme. Es ist klar das
> Substituiert wurde. [mm]t = tan^2[/mm]. Aber wieso verschwindet oben
> der Kosinus? Und noch verrückter erscheint mir, dass das
> Integral plötzlich gegen unendlich strebt.
Hallo,
du hast richtig erkannt, dass es sich um Integration durch Substitution handelt.
Wenn du dieses Verfahren prinzipiell kennst, müsstest du wissen, dass
- im Zuge der Substitution auch [mm] d\phi [/mm] durch einen Term mit "dt" ersetzt wird
- die Integrationsgrenzen auch zu substituieren sind.
Reichen diese Stichpunkte?
Gruß Abakus
>
> Danke schon einmal für die Hilfe.
> Liebe Grüße, Highchiller
|
|
|
| |
|
Argh, stimmt. Das mit den Intervallgrenzen ist vor einigen Jahren schon mal auf die Füße gefallen. Ich sollt mir das schleunigst merken.
Die Substitution ist mir ansonsten bekannt. Nun sind mir auch die Intervallgrenzen klar. Aber wie ich es dreh und wende, oben bleibt doch nicht einfach 1 stehen.
$ [mm] \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{1}{\cos^2{\varphi}} d\varphi}{a^2\tan^2{\varphi} + b^2} [/mm] = [mm] \int_{0}^{\infty}\frac{\frac{\tan^2(\varphi)+1}{\cos^2(\varphi)}dt}{a^2t^2 + b^2} [/mm] $
Ich glaub ich übersehe irgendeine Darstellungsmöglichkeit vom Kosinus, kann das sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Sa 30.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Substitution: [mm] $t=tan(\varphi)$
[/mm]
Dann: [mm] \bruch{dt}{d \varphi}= (tan(\varphi))'= \bruch{1}{cos^2(\varphi)}.
[/mm]
Somit ist
[mm] $\bruch{1}{cos^2(\varphi)}d \varphi= [/mm] dt$
FRED
|
|
|
|
