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Sinus + Kosinus Eigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 So 15.05.2011
Autor: noname2k

Aufgabe
Warum gelten die Beziehungen [mm] sin(-\alpha)=-sin(\alpha), cos(-\alpha)=cos(\alpha) [/mm] und [mm] sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1? [/mm] Beweisen Sie auerdem die folgenden Beziehungen:
a) [mm] cos(\pi-\alpha)=-cos(\alpha) [/mm]
b) [mm] sin(\pi-\alpha)=sin(\alpha) [/mm]
c) [mm] cos(\pi/2-\alpha)=sin(\alpha) [/mm]
d) [mm] sin(\pi/2-\alpha)=cos(\alpha) [/mm]
e) [mm] sin^2(\alpha/2)=\bruch{1-cos(\alpha)}{2} [/mm]
f) [mm] cos^2(\alpha/2)=\bruch{1+cos(\alpha)}{2} [/mm]

Hallo,

wäre nett wenn mal jemand drüberschauen könnte. Bei Aufgabe c) würde ich gerne wissen warum ich auf ein negatives Ergebnis komme und wie man es richtig macht. Bei e) weiß ich nicht genau ob ich das einfach so umformen darf und bei f) weiß ich nicht wie ich umformen muss.

[mm] sin(-\alpha)=-sin(\alpha) [/mm] gilt ja, da der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Und [mm] cos(-\alpha)=cos(\alpha) [/mm] gilt, da der Kosiunus achsensymmetrisch zur y-Achse ist. [mm] sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 [/mm] kann man über den trigonemtrischen Pythagoras zeigen.

Zu den Aufgaben:
a) [mm] cos(\pi-\alpha) [/mm] = [mm] cos(\pi)cos(\alpha)-sin(\pi)sin(\alpha) [/mm] = [mm] -1*cos(\alpha)-0*sin(\alpha) [/mm] = [mm] -cos(\alpha) [/mm]
b) [mm] sin(\pi-\alpha) [/mm] = [mm] sin(\pi)cos(\alpha)-cos(\pi)sin(\alpha) [/mm] = [mm] 0*cos(\alpha)-(-1)*sin(\alpha) [/mm] = [mm] sin(\alpha) [/mm]
c) [mm] cos(\pi/2-\alpha) [/mm] = [mm] cos(\pi/2)cos(\alpha)-sin(\pi/2)sin(\alpha) [/mm] = [mm] 0*cos(\alpha)-1*sin(\alpha) [/mm] = [mm] -sin(\alpha) [/mm] ?
d) [mm] sin(\pi/2-\alpha) [/mm] = [mm] sin(\pi/2)cos(\alpha)-cos(\pi/2)sin(\alpha) [/mm] = [mm] 1*cos(\alpha)-0*sin(\alpha)=cos(\alpha) [/mm]
e) [mm] sin^2(\alpha/2) [/mm] = [mm] 1-\bruch{cos^2(\alpha)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1-cos^2(\alpha)}{2} [/mm]
f) [mm] cos^2(\alpha/2) [/mm] = [mm] 1-sin(\alpha/2) [/mm] = ?

Schonmal Danke für Tipps.
        
Bezug
Sinus + Kosinus Eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 So 15.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Warum gelten die Beziehungen [mm]sin(-\alpha)=-sin(\alpha), cos(-\alpha)=cos(\alpha)[/mm]
> und [mm]sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1?[/mm]

Damit klar ist, wie dies gehen soll, muss man wissen,
auf welche Definitionen von sin und cos man sich stützen
soll !

> Beweisen Sie außerdem die
> folgenden Beziehungen:
>  a) [mm]cos(\pi-\alpha)=-cos(\alpha)[/mm]
>  b) [mm]sin(\pi-\alpha)=sin(\alpha)[/mm]
>  c) [mm]cos(\pi/2-\alpha)=sin(\alpha)[/mm]
>  d) [mm]sin(\pi/2-\alpha)=cos(\alpha)[/mm]
>  e) [mm]sin^2(\alpha/2)=\bruch{1-cos(\alpha)}{2}[/mm]
>  f) [mm]cos^2(\alpha/2)=\bruch{1+cos(\alpha)}{2}[/mm]

>  Hallo,
>  
> wäre nett wenn mal jemand drüberschauen könnte. Bei
> Aufgabe c) würde ich gerne wissen warum ich auf ein
> negatives Ergebnis komme und wie man es richtig macht.

Du hast dort schon bei der ersten Umformung (Subtrak-
tionstheorem des Cosinus) ein falsches Vorzeichen.

> Bei e) weiß ich nicht genau ob ich das einfach so umformen
> darf und bei f) weiß ich nicht wie ich umformen muss.
>  
> [mm]sin(-\alpha)=-sin(\alpha)[/mm] gilt ja, da der Sinus
> punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Und
> [mm]cos(-\alpha)=cos(\alpha)[/mm] gilt, da der Kosiunus
> achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
> [mm]sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1[/mm] kann man über den
> trigonemtrischen Pythagoras zeigen.
>  
> Zu den Aufgaben:
>  a) [mm]cos(\pi-\alpha)[/mm] =
> [mm]cos(\pi)cos(\alpha)\red{-}sin(\pi)sin(\alpha)[/mm] =     [notok]
> [mm]-1*cos(\alpha)-0*sin(\alpha)[/mm] = [mm]-cos(\alpha)[/mm]
>  b) [mm]sin(\pi-\alpha)[/mm] =
> [mm]sin(\pi)cos(\alpha)-cos(\pi)sin(\alpha)[/mm] =
> [mm]0*cos(\alpha)-(-1)*sin(\alpha)[/mm] = [mm]sin(\alpha)[/mm]
>  c) [mm]cos(\pi/2-\alpha)[/mm] =
> [mm]cos(\pi/2)cos(\alpha)\red{-}sin(\pi/2)sin(\alpha)[/mm] =     [notok]
> [mm]0*cos(\alpha)-1*sin(\alpha)[/mm] = [mm]-sin(\alpha)[/mm] ?
>  d) [mm]sin(\pi/2-\alpha)[/mm] =
> [mm]sin(\pi/2)cos(\alpha)-cos(\pi/2)sin(\alpha)[/mm] =
> [mm]1*cos(\alpha)-0*sin(\alpha)=cos(\alpha)[/mm]
>  e) [mm]sin^2(\alpha/2)[/mm] = [mm]1-\bruch{cos^2(\alpha)}{2}[/mm] =     [haee]
> [mm]\bruch{1-cos^2(\alpha)}{2}[/mm]       [haee]
>  f) [mm]cos^2(\alpha/2)[/mm] = [mm]1-sin(\alpha/2)[/mm] = ?    [haee]


Bei e) und f) solltest du die Additionstheoreme
auf die Gleichung [mm] \alpha=\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2} [/mm] ansetzen.

LG    Al-Chw.
Bezug
                
Bezug
Sinus + Kosinus Eigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 So 15.05.2011
Autor: noname2k


> > Zu den Aufgaben:
>  >  a) [mm]cos(\pi-\alpha)[/mm] =
> > [mm]cos(\pi)cos(\alpha)\red{-}sin(\pi)sin(\alpha)[/mm] =     [notok]

Da muss natürlich ein + stehen.

>  >  c) [mm]cos(\pi/2-\alpha)[/mm] =
> > [mm]cos(\pi/2)cos(\alpha)\red{-}sin(\pi/2)sin(\alpha)[/mm] =    
> [notok]
> > [mm]0*cos(\alpha)-1*sin(\alpha)[/mm] = [mm]-sin(\alpha)[/mm] ?

Da hier auch ein + stehen muss ist alles klar ;)

>  >  e) [mm]sin^2(\alpha/2)[/mm] = [mm]1-\bruch{cos^2(\alpha)}{2}[/mm] =    
> [haee]
>  > [mm]\bruch{1-cos^2(\alpha)}{2}[/mm]       [haee]

>  >  f) [mm]cos^2(\alpha/2)[/mm] = [mm]1-sin(\alpha/2)[/mm] = ?    [haee]
>  
>
> Bei e) und f) solltest du die Additionstheoreme
> auf die Gleichung [mm]\alpha=\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}[/mm]
> ansetzen.
>  

Bei e) und f) wollte ich die Gleichung [mm] 1=sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha) [/mm] nach [mm] sin^2 [/mm] bzw. [mm] cos^2 [/mm] umstellen und damit weitermachen aber dann muss ich mir das nochmal genauer anschauen, danke erstmal.

Bezug
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