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Hallo ihr lieben,
ich soll nachweisen, dass Sin(x) mit [mm] sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}*x^{2k+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\frac{x^9}{9!}........
[/mm]
also mir ist klar wie der Term entsteht. Ich habe ihn in meinem Ansatz umgeformt zu:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}*(-1)^{k}
[/mm]
jetzt wird deutlich wie die Brüche entstehen. der letzte Faktor also [mm] (-1)^{k} [/mm] sorgt in diesem Falle nur noch für ein positives oder ein negatives Vorzeichen..
aber wie kann ich diesen oberen langen Term nur beweisen? Ich nehme an, mein Ansatz reicht dafür leider nicht aus, oder?
Liebe Grüße 
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Hiho,
> Hallo ihr lieben,
> ich soll nachweisen, dass Sin(x) mit
> [mm]sin(x)=\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}*x^{2k+1}=[/mm]
> x - [mm]\frac{x^3}{3!}[/mm] + [mm]\frac{x^5}{5!}....[/mm]
Was soll es denn nun sein?
Du hast da wohl die Hälfte vergessen....
Gruß,
Gono.
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also auf meinem Blatt geht es leider auch nicht weiter :-P
da folgt nur "-+-+..."
aber ich kann den Term ja selber vervollständigen..
es geht weiter [mm] mit....-\frac{x^{7}}{7!}+{x^9}{9!}....
[/mm]
undsoweiter...
aber wie beweise ich nun den oben genannten Term?
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Hiho,
mir ist absolut noch nicht klar, was du zeigen sollst. Du hast eine Definition des Sinus hingeschrieben, da ist nichts zu zeigen, wenn man es so definiert.
Wenn ihr es anders definiert habt, wäre es vielleicht mal gut, eure Definition anzugeben.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo ihr lieben,
> ich soll nachweisen, dass Sin(x) mit
> [mm]sin(x)=\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}*x^{2k+1}=[/mm]
> x - [mm]\frac{x^3}{3!}[/mm] + [mm]\frac{x^5}{5!}....[/mm]
>
> also mir ist klar wie der Term entsteht. Ich habe ihn in
> meinem Ansatz umgeformt zu:
> [mm]\sum_{k=0}{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}*(-1)^{k}[/mm]
> jetzt wird deutlich wie die Brüche entstehen. der letzte
> Faktor also [mm](-1)^{k}[/mm] sorgt in diesem Falle nur noch für
> ein positives oder ein negatives Vorzeichen..
>
> aber wie kann ich diesen oberen langen Term nur beweisen?
> Ich nehme an, mein Ansatz reicht dafür leider nicht aus,
> oder?
>
>
> Liebe Grüße
Hallo,
ich schätze mal, dass du hier die Anwendung der Taylor-Entwicklung mit dem Entwicklungspunkt x=0 haarklein vorführen sollst, damit am Ende der Summenterm entsteht...
Gruß Abakus
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Leider hatten wir die Taylor-Entwicklung noch nicht und dürfen diese leider auch nicht verwenden. Gibt es einen anderen Weg?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Leider hatten wir die Taylor-Entwicklung noch nicht und
> dürfen diese leider auch nicht verwenden. Gibt es einen
> anderen Weg?
>
> Liebe Grüße
Seid ihr vielleicht bei komplexen Zahlen und hattet da schon die e-Funktion?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> > Leider hatten wir die Taylor-Entwicklung noch nicht und
> > dürfen diese leider auch nicht verwenden. Gibt es
> einen
> > anderen Weg?
> >
> > Liebe Grüße
> Seid ihr vielleicht bei komplexen Zahlen und hattet da
> schon die e-Funktion?
Die Frage hat sich erledigt, da ich gerade deine letzten Anfragen ans Forum durchgelesen habe.
Damit hat sich die Antwort auch so gut wie erledigt.
Gruß Abakus
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und wie beweise ich dies nun? :-( die exponentialfuntkion schreibt sich ja [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}...
[/mm]
das ist ja Bestandteil der Sinus Funktion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Sa 04.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
entweder ist bekannt, dass [mm] e^{ix}=cos(x)+isin(x) [/mm] dann nimm den Imafinärteil der Reihe für [mm] e^{ix} [/mm] oder du hast eine Definition der fkt sin(x), nicht über die Reihe, dann mußt du die endlich nennen. man kann über eine fkt, deren Definition man nicht kennt nichts zeigen!
("Bestandteil" der sin fkkt ist sinnfrei!)
Gruß leduart
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okay ich habe ja:
[mm] e^{ix} [/mm] = cos(x) + i*sin(x )
also auch:
[mm] e^{ix} [/mm] - cos(x) = i*sin(x )
also:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{k}}{k!} [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!} [/mm]
aber wie kann ich nur die 2 Summen weiterverrechnen? In dem ich sie Nennergleich mache?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Sa 04.01.2014 | | Autor: | abakus |
> okay ich habe ja:
> [mm]e^{ix}[/mm] = cos(x) + i*sin(x )
Bis hier okay und zielführend.
Jetzt das gleiche für [mm] $e^{-ix}$ [/mm] aufstellen und beide voneinander subtrahieren.
Siehe auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Beziehung_zur_Exponentialfunktion
Gruß Abakus
> also auch:
> [mm]e^{ix}[/mm] - cos(x) = i*sin(x )
> also:
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{k}}{k!}[/mm] -
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>
> aber wie kann ich nur die 2 Summen weiterverrechnen? In dem
> ich sie Nennergleich mache?
>
> LG
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[mm] e^{-ix}= [/mm] cos(x) - i*sin(x)
wenn ich beide subtrahiere erhalte ich:
[mm] e^{ix}-e^{-ix} [/mm] = 2*cos(x) |:2
[mm] \gdw o,5*(e^{ix}-e^{-ix}) [/mm] = cos(x)
so hätte ich den cos(x) erklärt oder?
und wir erkläre ich den Sinus?
denn egal wie ich die beiden subtrahiere oder addiere, er fällt immer weg :-(
Liebe Grüße
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Hallo rosapanther,
> [mm]e^{-ix}=[/mm] cos(x) - i*sin(x)
> wenn ich beide subtrahiere erhalte ich:
> [mm]e^{ix}-e^{-ix}[/mm] = 2*cos(x) |:2
> [mm]\gdw o,5*(e^{ix}-e^{-ix})[/mm] = cos(x)
> so hätte ich den cos(x) erklärt oder?
>
> und wir erkläre ich den Sinus?
> denn egal wie ich die beiden subtrahiere oder addiere, er
> fällt immer weg :-(
Wieso? Du hast [mm] e^{i\phi}=\cos{\phi}+i\sin{\phi} [/mm] und [mm] e^{-i\phi}=\cos{\phi}-i\sin{\phi}.
[/mm]
Also [mm] e^{i\phi}+e^{-i\phi}=2\cos{\phi}, [/mm] wie oben.
Außerdem [mm] e^{i\phi}+e^{-i\phi}=2i\sin{\phi}. [/mm] Jetzt steckt noch der Faktor $i$ mit drin, aber das ist ja kein Problem. Es gilt [mm] \bruch{1}{i}=-i.
[/mm]
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Sa 04.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo rosapanther,
>
> > [mm]e^{-ix}=[/mm] cos(x) - i*sin(x)
> > wenn ich beide subtrahiere erhalte ich:
> > [mm]e^{ix}-e^{-ix}[/mm] = 2*cos(x) |:2
> > [mm]\gdw o,5*(e^{ix}-e^{-ix})[/mm] = cos(x)
> > so hätte ich den cos(x) erklärt oder?
> >
> > und wir erkläre ich den Sinus?
> > denn egal wie ich die beiden subtrahiere oder addiere,
> er
> > fällt immer weg :-(
>
> Wieso? Du hast [mm]e^{i\phi}=\cos{\phi}+i\sin{\phi}[/mm] und
> [mm]e^{-i\phi}=\cos{\phi}-i\sin{\phi}.[/mm]
>
> Also [mm]e^{i\phi}+e^{-i\phi}=2\cos{\phi},[/mm] wie oben.
>
> Außerdem [mm]e^{i\phi}+e^{-i\phi}=2i\sin{\phi}.[/mm] Jetzt steckt
Hallo,
das soll sicher [mm]e^{i\phi}\red{-}e^{-i\phi}=2i\sin{\phi}[/mm] heißen.
Gruß Abakus
> noch der Faktor [mm]i[/mm] mit drin, aber das ist ja kein Problem.
> Es gilt [mm]\bruch{1}{i}=-i.[/mm]
>
> Jetzt Du.
>
> Grüße
> reverend
>
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vielen Dank! ich habe es jetzt rechnerisch nachgewiesen
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