Sinh injektiv stetig, Sin^-1 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige [mm] sinh_{\IR} [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] ijektiv und stetig
Folgere daraus: [mm] sinh^{-1} [/mm] existiert und ist stetig |
Hallo,
Die Aufgabe untergliedert sich in 3 Abschnitte:
(i) Injektivität zeigen
(ii) stetigkeit zeigen
(iii) daraus die Existenz genau einer stetigen Umkehrfunktion schließen
zu (ii)
Wissen: sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}
[/mm]
Nach Analysis 1 ist [mm] e^x [/mm] stetig. Ferner ist die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig.
Also ist sinh(x) als Verkettung stetiger Funktionen stetig.
zu(i) Man sieht, dass sinh(x) bijektiv (jedes Element der Zielmenge wird genau einmal getroffen) also auch injektiv (jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal getroffen) ist. Mit dem Ansatz:
Sei [mm] x_1 \not= x_2 \Rightarrow sinh(x_1) \not= sinh(x_2)
[/mm]
[mm] \gdw x_1 \not= x_2 \Rightarrow \bruch{e^{x_1} - e^{-x_1}}{2} \not= \bruch{e^{x_2} - e^{-x_2}}{2}
[/mm]
[mm] \gdw x_1 \not= x_2 \Rightarrow e^{x_1} [/mm] - [mm] e^{-x_1}\not= e^{x_2} [/mm] - [mm] e^{-x_2}
[/mm]
kann man jetzt hoffentlich schließen dass wegen
[mm] e^{x} [/mm] streng monoton wachsend und [mm] -e^{-x} [/mm] streng monoton wachsend
die Implikation gilt und somit die Injektivität von sinh(x) folgt.
zu(iii) also ich weiss dass eine bijektive Funktion eine umkehrabbildung besitzt.
über eine injektive kann man das i.A. nicht sagen.
Wenn man jetzt schließen könnte dass aus Injektivität und Stetigkeit, Bijektivität folgt, wäre man ja fertig.
Leider fällt mir dazu kein Ansatz ein auch wenn ich das anschaulich nachvollziehen kann!
Hat jemand eine Idee?
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Hallo NightmareVirus,
> Zeige [mm]sinh_{\IR}[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] ijektiv und stetig
> Folgere daraus: [mm]sinh^{-1}[/mm] existiert und ist stetig
> Hallo,
>
> Die Aufgabe untergliedert sich in 3 Abschnitte:
> (i) Injektivität zeigen
> (ii) stetigkeit zeigen
> (iii) daraus die Existenz genau einer stetigen
> Umkehrfunktion schließen
>
> zu (ii)
> Wissen: sinh(x) = [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2}[/mm]
> Nach Analysis 1
> ist [mm]e^x[/mm] stetig. Ferner ist die Verkettung stetiger
> Funktionen wieder stetig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also ist sinh(x) als Verkettung stetiger Funktionen stetig.
Jo!
>
> zu(i) Man sieht, dass sinh(x) bijektiv (jedes Element der
> Zielmenge wird genau einmal getroffen) also auch injektiv
> (jedes Element der Zielmenge wird höchstens einmal
> getroffen) ist. Mit dem Ansatz:
> Sei [mm]x_1 \not= x_2 \Rightarrow sinh(x_1) \not= sinh(x_2)[/mm]
>
> [mm]\gdw x_1 \not= x_2 \Rightarrow \bruch{e^{x_1} - e^{-x_1}}{2} \not= \bruch{e^{x_2} - e^{-x_2}}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw x_1 \not= x_2 \Rightarrow e^{x_1}[/mm] - [mm]e^{-x_1}\not= e^{x_2}[/mm]
> - [mm]e^{-x_2}[/mm]
> kann man jetzt hoffentlich schließen dass wegen
> [mm]e^{x}[/mm] streng monoton wachsend und [mm]-e^{-x}[/mm] streng monoton
> wachsend
> die Implikation gilt und somit die Injektivität von
> sinh(x) folgt.
Hmm, der Schluss klingt mir doch arg schwammig oder "gestrickt" 
Viel einfacher lässt sich das über die Monotonie von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] (mittels der Ableitung) begründen ...
>
> zu(iii) also ich weiss dass eine bijektive Funktion eine
> umkehrabbildung besitzt.
> über eine injektive kann man das i.A. nicht sagen.
> Wenn man jetzt schließen könnte dass aus Injektivität und
> Stetigkeit, Bijektivität folgt, wäre man ja fertig.
> Leider fällt mir dazu kein Ansatz ein auch wenn ich das
> anschaulich nachvollziehen kann!
> Hat jemand eine Idee?
Du hast bisher, dass [mm] $\sinh(x)$ [/mm] injektiv und stetig ist auf [mm] $\IR$ [/mm]
Schaue dir noch [mm] $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\sinh(x)$ [/mm] an und ziehe deine Schlüsse ...
LG
schachuzipus
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