Singularitäten f,g -> f*g, f+g < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
[mm] D\subset \IC [/mm] sei offen und [mm] f,g:D\to \IC [/mm] seien holomorphe Funktionen mit einer unwesentlichen Singularität bei [mm] z_{0}\in [/mm] D. Zeigen Sie, dass [mm] z_{0} [/mm] dann auch eine unwesentliche Singularität von [mm] $f\pm [/mm] g,\ f*g$ und - falls zusätzlich [mm] g(z_{0})\not= [/mm] 0 gilt - von f/g ist.
b)
Die holomorphe Funktion f habe eine Singularität [mm] z_{0}, [/mm] welche nicht hebbar ist. Zeigen Sie, dass dann [mm] z_{0} [/mm] eine wesentliche Singularität der Funktion g(z) = [mm] \exp(g(z)) [/mm] ist. |
Hallo!
Für obige Aufgabe würde ich euch gern meine Lösungsideen zeigen und von euch kontrolliert haben.
a)
Ich habe überlegt, ob ich die Laurentreihe von f und g um [mm] z_{0} [/mm] benutzen könnte. Dann wüsste ich, dass der Hauptteil jeweils nur endlich viele Glieder besitzt (unwesentliche Singularität). Damit hat natürlich auch der Hauptteil der Summe und der Differenz nur endlich viele Glieder. Aber ich glaube, dass bringt mich spätestens bei Produkt und Quotient nicht weiter.
Also müsste ich wahrscheinlich zwischen hebbarer Singularität und Pol unterscheiden.
Hebbar: f und g sind um [mm] z_{0} [/mm] beschränkt (gilt diese "Rückwärtsfolgerung" aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz), also auch das Produkt f*g bzw. der Quotient f/g beschränkt --> Hebbare Singularität in [mm] z_{0}.
[/mm]
Pol: Es existieren [mm] $k,l\in \IN$ [/mm] sodass [mm] $(z-z_{0})^{k}*f(z)$ [/mm] bzw. [mm] $(z-z_{0})^{l}*g(z)$ [/mm] beschränkt sind. Dann gilt für das Produkt f*g, dass $m = k+l$ existiert, sodass [mm] $(z-z_{0})^{m}*(f(z)*g(z)) [/mm] = [mm] \Big((z-z_{0})^{k}*f(z)\Big)*\Big((z-z_{0})^{l}*g(z)\Big)$ [/mm] beschränkt ist. --> Wieder Pol.
Könnte man das so machen oder gäbe es bessere Wege?
b)
Könnte man das eventuell über die Laurentreihen machen? f hat eine Laurentreihe, deren Hauptteil mindestens ein Glied [mm] \not= [/mm] 0 besitzt. Nun könnte ich ja die Laurentreihe in die der Exponentialfunktion einsetzen. Wäre das ein Ansatz, oder gibt es einen besseren? Ich hätte dann nämlich Probleme damit, dass ich ja eine Entwicklung der Exponentialreihe um [mm] z_{0} [/mm] bräuchte.
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Bin weiterhin an der Beantwortung interessiert 
Viele Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 So 14.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a)
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> [mm]D\subset \IC[/mm] sei offen und [mm]f,g:D\to \IC[/mm] seien holomorphe
> Funktionen mit einer unwesentlichen Singularität bei
> [mm]z_{0}\in[/mm] D. Zeigen Sie, dass [mm]z_{0}[/mm] dann auch eine
> unwesentliche Singularität von [mm]f\pm g,\ f*g[/mm] und - falls
> zusätzlich [mm]g(z_{0})\not=[/mm] 0 gilt - von f/g ist.
>
> b)
>
> Die holomorphe Funktion f habe eine Singularität [mm]z_{0},[/mm]
> welche nicht hebbar ist. Zeigen Sie, dass dann [mm]z_{0}[/mm] eine
> wesentliche Singularität der Funktion g(z) = [mm]\exp(g(z))[/mm]
> ist.
> Hallo!
>
> Für obige Aufgabe würde ich euch gern meine Lösungsideen
> zeigen und von euch kontrolliert haben.
>
> a)
>
> Ich habe überlegt, ob ich die Laurentreihe von f und g um
> [mm]z_{0}[/mm] benutzen könnte. Dann wüsste ich, dass der Hauptteil
> jeweils nur endlich viele Glieder besitzt (unwesentliche
> Singularität). Damit hat natürlich auch der Hauptteil der
> Summe und der Differenz nur endlich viele Glieder.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber ich
> glaube, dass bringt mich spätestens bei Produkt und
> Quotient nicht weiter.
Warum funktioniert deiner Meinung nach dieses Argument für das Produkt nicht?
> Also müsste ich wahrscheinlich zwischen hebbarer
> Singularität und Pol unterscheiden.
> Hebbar: f und g sind um [mm]z_{0}[/mm] beschränkt (gilt diese
> "Rückwärtsfolgerung" aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz),
> also auch das Produkt f*g bzw. der Quotient f/g beschränkt
> --> Hebbare Singularität in [mm]z_{0}.[/mm]
> Pol: Es existieren [mm]k,l\in \IN[/mm] sodass [mm](z-z_{0})^{k}*f(z)[/mm]
> bzw. [mm](z-z_{0})^{l}*g(z)[/mm] beschränkt sind. Dann gilt für das
> Produkt f*g, dass [mm]m = k+l[/mm] existiert, sodass
> [mm](z-z_{0})^{m}*(f(z)*g(z)) = \Big((z-z_{0})^{k}*f(z)\Big)*\Big((z-z_{0})^{l}*g(z)\Big)[/mm]
> beschränkt ist. --> Wieder Pol.
>
> Könnte man das so machen oder gäbe es bessere Wege?
Das ist OK, aber du brauchst beide Fälle nicht zu unterscheiden. Es gilt doch folgendes: Wenn an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] eine nichtwesentliche Singularität vorliegt, so gibt es [mm] $k,l\in\IN_0$, [/mm] sodass
[mm] $\lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k [/mm] f(z) $ und [mm] $\lim_{z\to z_0} (z-z_0)^l [/mm] g(z) $
existieren. (Im Fall einer hebbaren Singularität ist k oder l gleich 0.)
Also existiert auch
[mm] $\lim_{z\to z_0} (z-z_0)^{k+l} [/mm] f(z) g(z)$,
und im Falle [mm] $g(z_0)\not=0$ [/mm] auch
[mm] $\lim_{z\to z_0} (z-z_0)^{k-l} [/mm] f(z)/g(z)$,
> b)
>
> Könnte man das eventuell über die Laurentreihen machen? f
> hat eine Laurentreihe, deren Hauptteil mindestens ein Glied
> [mm]\not=[/mm] 0 besitzt. Nun könnte ich ja die Laurentreihe in die
> der Exponentialfunktion einsetzen. Wäre das ein Ansatz,
> oder gibt es einen besseren? Ich hätte dann nämlich
> Probleme damit, dass ich ja eine Entwicklung der
> Exponentialreihe um [mm]z_{0}[/mm] bräuchte.
Das verstehe ich nicht.
Nimm dir doch mal den einfachsten Fall, dass f einen Pol 1. Ordnung hat. Dann ist
[mm] f(z) = a_{-1} \bruch{1}{z-z_0} + g(z) [/mm], $g(z)$ holomorph.
Bedenke, dass [mm] $\exp(a+b)=\exp(a)*\exp(b)$ [/mm] ist!
Viele Grüße
Rainer
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