Singularität: hebbar,Pol,wes. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Gegeben seien die Funktionen [mm] \bruch{1}{1-e^{z} } [/mm] , [mm] e^{1/z} [/mm] , cos(1/z), [mm] \bruch{sinz}{z} [/mm] , holomoroph auf [mm] \IC \0 [/mm] mit isolierter Singularität an der Stelle 0.
Ist die Singularität hebbar, heben Sie diese,
ist sie eine Polstelle, bestimmen Sie den Hauptteil,
ist sie wesentlich, bestimmen Sie für alle hinreichend kleinen [mm] \varepsilon [/mm] >0 das Bild von [mm] \{ z: 0<|z| <\varepsilon \} [/mm] unter der Funktion. |
Hallo!
Einen Teil der Aufgabe habe ich gelöst, aber weiter komme ich irgendwie nicht. Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte, wie's weitergeht:
1. [mm] e^{1/z} [/mm] müsste be 0 wesentliche Singularität haben (stimmt das?); ich hab's als Laurentreihe umgeschrieben und dann gesehen, dass der Hauptteil immer ungleich 0 ist bzw. dass dier Koeffizienten der Laurentreihe ungleich 0 sind.
Aber wie komme ich hier auf das BILD der Funktion?
Mir hat jemand den Satz von Picard gesagt, der sagt, dass der Abschluss des Bildes in jeder [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung von 0 entweder ganz [mm] \IC [/mm] ist oder [mm] \IC [/mm] mit einer Ausnahme. Da [mm] e^{1/z} [/mm] nie 0 wird, müsste das Bild [mm] \IC \0 [/mm] sein.
Stimmt das so, kann man so argumentieren?
2. cos(1/z) ist glaub ich auch wesentliche Singularität bei 0, selbe Taktik wie bei 1. Aber wie komme ich auf das Bild? Ist das nach Picard dann ganz [mm] \IC [/mm] ?
3. [mm] \bruch{sinz}{z} [/mm] hat bei 0 eine hebbare Singularität; wenn ich dann für z 0 einsetze, kommt 1 raus, denn:
[mm] \bruch{sinz}{z} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty } (-1)^{n} z^{2n} [/mm] / (2n+1)! = 0 für z=0, außer bei n=0, da ist die Summe = 1. also lässt sich die Funktion heben:
[mm] f(z)=\begin{cases} \bruch{sinz}{z} , & \mbox{für } z\not= 0 \\ 1, & \mbox{für } z=0 \end{cases}
[/mm]
Stimmt das so?
4. [mm] \bruch{1}{1-e^{z} } [/mm]
Hier habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.... hab's mal als Potenzreihe geschrieben, hat aber nix gebracht.
Es wäre super, wenn mir jemand bei dem einen oder anderen Aufgabenteil helfen würde!
Danke schonmal und Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die Funktionen [mm]\bruch{1}{1-e^{z} }[/mm] , [mm]e^{1/z}[/mm]
> , cos(1/z), [mm]\bruch{sinz}{z}[/mm] , holomoroph auf [mm]\IC \0[/mm] mit
> isolierter Singularität an der Stelle 0.
>
> Ist die Singularität hebbar, heben Sie diese,
> ist sie eine Polstelle, bestimmen Sie den Hauptteil,
> ist sie wesentlich, bestimmen Sie für alle hinreichend
> kleinen [mm]\varepsilon[/mm] >0 das Bild von [mm]\{ z: 0<|z| <\varepsilon \}[/mm]
> unter der Funktion.
> Hallo!
> Einen Teil der Aufgabe habe ich gelöst, aber weiter komme
> ich irgendwie nicht. Es wäre toll, wenn mir jemand helfen
> könnte, wie's weitergeht:
>
> 1. [mm]e^{1/z}[/mm] müsste be 0 wesentliche Singularität haben
> (stimmt das?); ich hab's als Laurentreihe umgeschrieben und
> dann gesehen, dass der Hauptteil immer ungleich 0 ist bzw.
> dass dier Koeffizienten der Laurentreihe ungleich 0 sind.
O.K.
>
> Aber wie komme ich hier auf das BILD der Funktion?
> Mir hat jemand den Satz von Picard gesagt, der sagt, dass
> der Abschluss des Bildes in jeder [mm]\varepsilon[/mm] -Umgebung von
> 0 entweder ganz [mm]\IC[/mm] ist oder [mm]\IC[/mm] mit einer Ausnahme.
So stimmt das nicht ganz.
Der Satz von Casorati- Weierstraß besagt: der Abschluß von f( [mm] \{ z: 0<|z| <\varepsilon \} [/mm] ) ist ganz [mm] \IC.
[/mm]
Der "große" Satz von Picard besagt: es gibt ein c [mm] \in \IC [/mm] mit:
f( [mm] \{ z: 0<|z| <\varepsilon \} [/mm] ) = [mm] \IC
[/mm]
oder
f( [mm] \{ z: 0<|z| <\varepsilon \} [/mm] ) = [mm] \IC [/mm] \ {c}
Da
> [mm]e^{1/z}[/mm] nie 0 wird, müsste das Bild [mm]\IC \0[/mm] sein.
??????????????????????????????????????
> Stimmt das so, kann man so argumentieren?
[mm]e^{1/z}[/mm] [mm] \not= [/mm] 0 für jedes z, also ist das Bild nach Picard: [mm] \IC [/mm] \ {0}
>
> 2. cos(1/z) ist glaub ich auch wesentliche Singularität
> bei 0, selbe Taktik wie bei 1. Aber wie komme ich auf das
> Bild? Ist das nach Picard dann ganz [mm]\IC[/mm] ?
Was ist das Bild von cos(z) ?
>
> 3. [mm]\bruch{sinz}{z}[/mm] hat bei 0 eine hebbare Singularität;
> wenn ich dann für z 0 einsetze, kommt 1 raus, denn:
>
> [mm]\bruch{sinz}{z}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty } (-1)^{n} z^{2n}[/mm] /
> (2n+1)! = 0 für z=0, außer bei n=0, da ist die Summe = 1.
> also lässt sich die Funktion heben:
>
> [mm]f(z)=\begin{cases} \bruch{sinz}{z} , & \mbox{für } z\not= 0 \\ 1, & \mbox{für } z=0 \end{cases}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja
>
> 4. [mm]\bruch{1}{1-e^{z} }[/mm]
>
> Hier habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll.... hab's
> mal als Potenzreihe geschrieben, hat aber nix gebracht.
>
Bestimme die Lösungen der Gl. [mm] e^z=1 [/mm] und zeige, dass jede dieser Lösungen ein einfacher Pol von [mm]\bruch{1}{1-e^{z} }[/mm] ist.
FRED
> Es wäre super, wenn mir jemand bei dem einen oder anderen
> Aufgabenteil helfen würde!
> Danke schonmal und Gruß!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Casy |
> Da
> > [mm]e^{1/z}[/mm] nie 0 wird, müsste das Bild [mm]\IC \0[/mm] sein.
>
> ??????????????????????????????????????
>
> > Stimmt das so, kann man so argumentieren?
>
> [mm]e^{1/z}[/mm] [mm]\not=[/mm] 0 für jedes z, also ist das Bild nach
> Picard: [mm]\IC[/mm] \ {0}
...natürlich, tschuldigung. Das hab ich gemeint, nur vertippt.
> >
> >
> > 2. cos(1/z) ist glaub ich auch wesentliche Singularität
> > bei 0, selbe Taktik wie bei 1. Aber wie komme ich auf das
> > Bild? Ist das nach Picard dann ganz [mm]\IC[/mm] ?
>
>
> Was ist das Bild von cos(z) ?
Im Komplexen ist cos(z) unbeschränkt. Das müsste dann heißen, dass ganz [mm] \IC [/mm] rauskommt?!
> > 4. [mm]\bruch{1}{1-e^{z} }[/mm]
> >
über 4. muss ich nochmal nachdenken bzw, rechnen; ich meld mich gleich wieder!
Vielleicht könnte jemand schauen, ob ich jetzt die richtigen Bilder hab?
Danke!
....so, ich hab's mal versucht:
[mm] e^{z} [/mm] = 1, also:
[mm] e^{z} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] (cos(y)+isin(y)) = 1 (für z=x+iy)
[mm] \gdw [/mm] cosy+isiny = [mm] 1/e^{x} [/mm] , also [mm] \in \IR [/mm] , also muss der Imaginärteil 0 sein:
siny=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=0 oder [mm] y=k\pi [/mm] mit k [mm] \in \IZ [/mm]
beide Fälle eingesetzt:
1) [mm] cos(k\pi [/mm] ) = [mm] 1/e^{x} [/mm]
[mm] \Rightarrow e^{x} [/mm] = 1, k gerade; [mm] e^{x} [/mm] =-1, k ungerade. fällt flach, da [mm] e^{x} [/mm] >0 sein muss, also [mm] e^{x} [/mm] =1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0.
Ist [mm] z=0+ik\pi [/mm] einfache Polstelle von [mm] \bruch{1}{1-e^{ik\pi } } [/mm] ?
JA, denn: [mm] e^{ik\pi } [/mm] =1 (nicht -1, da k gerade)
2) cos(0) = [mm] 1/e^{x} \gdw e^{x} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0
Ist z=0+i0=0 einfache Polstelle von [mm] \bruch{1}{1-e^{ik\pi } } [/mm] ?
JA, denn: [mm] e^{0} [/mm] =1
Somit hat [mm] \bruch{1}{1-e^{z} } [/mm] in o eine Polstelle der Ordnung 1.
Stimmt das so?
...Und wie komm ich auf den Hauptteil? Dazu müsste ich das als Laurentreihe schreiben, und ich weiß nicht, wie ich das hier hinkriegen soll.
Es wäre toll, wenn mir nochmal jemand helfen könnte!
Schonmal tausend Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Da
> > > [mm]e^{1/z}[/mm] nie 0 wird, müsste das Bild [mm]\IC \0[/mm] sein.
> >
> > ??????????????????????????????????????
> >
> > > Stimmt das so, kann man so argumentieren?
> >
> > [mm]e^{1/z}[/mm] [mm]\not=[/mm] 0 für jedes z, also ist das Bild nach
> > Picard: [mm]\IC[/mm] \ {0}
>
> ...natürlich, tschuldigung. Das hab ich gemeint, nur
> vertippt.
> > >
> > >
> > > 2. cos(1/z) ist glaub ich auch wesentliche Singularität
> > > bei 0, selbe Taktik wie bei 1. Aber wie komme ich auf das
> > > Bild? Ist das nach Picard dann ganz [mm]\IC[/mm] ?
> >
> >
> > Was ist das Bild von cos(z) ?
>
> Im Komplexen ist cos(z) unbeschränkt. Das müsste dann
> heißen, dass ganz [mm]\IC[/mm] rauskommt?!
>
>
> > > 4. [mm]\bruch{1}{1-e^{z} }[/mm]
> > >
> über 4. muss ich nochmal nachdenken bzw, rechnen; ich meld
> mich gleich wieder!
>
> Vielleicht könnte jemand schauen, ob ich jetzt die
> richtigen Bilder hab?
>
> Danke!
>
> ....so, ich hab's mal versucht:
>
> [mm]e^{z}[/mm] = 1, also:
> [mm]e^{z}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] (cos(y)+isin(y)) = 1 (für z=x+iy)
> [mm]\gdw[/mm] cosy+isiny = [mm]1/e^{x}[/mm] , also [mm]\in \IR[/mm] , also muss der
> Imaginärteil 0 sein:
> siny=0 [mm]\Rightarrow[/mm] y=0 oder [mm]y=k\pi[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> beide Fälle eingesetzt:
>
> 1) [mm]cos(k\pi[/mm] ) = [mm]1/e^{x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow e^{x}[/mm] = 1, k gerade; [mm]e^{x}[/mm] =-1, k ungerade.
> fällt flach, da [mm]e^{x}[/mm] >0 sein muss, also [mm]e^{x}[/mm] =1
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=0.
>
> Ist [mm]z=0+ik\pi[/mm] einfache Polstelle von [mm]\bruch{1}{1-e^{ik\pi } }[/mm]
> ?
> JA, denn: [mm]e^{ik\pi }[/mm] =1 (nicht -1, da k gerade)
>
> 2) cos(0) = [mm]1/e^{x} \gdw e^{x}[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] x=0
>
> Ist z=0+i0=0 einfache Polstelle von [mm]\bruch{1}{1-e^{ik\pi } }[/mm]
> ?
> JA, denn: [mm]e^{0}[/mm] =1
>
> Somit hat [mm]\bruch{1}{1-e^{z} }[/mm] in o eine Polstelle der
> Ordnung 1.
>
> Stimmt das so?
Die Funktion hat lauter Pole 1. Ordnung an den Punkten [mm] $z=2ik\pi [/mm] $, [mm] $k\in\IZ$, [/mm] das ist richtig. Da es sich um eine Periodische Funktione handelt [mm] ($f(z+2ik\pi)=f(z)$, [/mm] musst du sogar nur einen Pol betrachten und bekommst kostenlos alle anderen mitgeliefert.
> ...Und wie komm ich auf den Hauptteil? Dazu müsste ich das
> als Laurentreihe schreiben, und ich weiß nicht, wie ich das
> hier hinkriegen soll.
Es ist doch ein Pol 1. Ordnung, da sieht der Hauptteil ganz einfach aus: [mm] $\bruch{a_{-1}}{z}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Casy |
....aha, verstehe. Danke für die Erklärung, das war sehr einleuchtend!
Gruß & danke für eure Geduld!!
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