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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Singularität
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Singularität: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Sa 27.06.2009
Autor: Stern123

Aufgabe
f(z) = [mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm]  für z [mm] \in \IC [/mm] \ {0}
0 ist eine wesentliche Singularität.

Kann mir jemand erklären, warum 0 eine wesentliche Singularität ist?
Wenn ich z gegen 0 gehen lasse, geht doch f(z) eigentlich gegen [mm] \infty, [/mm] oder nicht?
Dann wäre es doch eigentlich ein Pol.
Wo liegt mein Fehler?

        
Bezug
Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Sa 27.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Stern123,

> f(z) = [mm]e^{\bruch{1}{z}}[/mm]  für z [mm]\in \IC[/mm] \ {0}
>  0 ist eine wesentliche Singularität.
>  Kann mir jemand erklären, warum 0 eine wesentliche
> Singularität ist?
>  Wenn ich z gegen 0 gehen lasse, geht doch f(z) eigentlich
> gegen [mm]\infty,[/mm] oder nicht? [notok]

Es müsste [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\red{|}f(z)\red{|}=\infty$ [/mm] sein, setze mal $z=x+iy$ und schaue, was denn $|f(z)|$ ist ...

>  Dann wäre es doch eigentlich ein Pol.
>  Wo liegt mein Fehler?

s.o., alternativ kannst du dir das sehr schnell an der Laurentreihe klarmachen:

Es ist ja bekanntermaßen für [mm] $z\in\IC [/mm] : \ \ [mm] e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}e^z$ [/mm]

Also [mm] $e^{\frac{1}{z}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}e^{\frac{1}{z}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}e^{-z}=\blue{\sum\limits_{n=-\infty}^{0}\frac{1}{n!}e^z}$ [/mm]

In der Laurentreihe ist der Hauptteil also nicht abbrechend, also liegt eine wesentl. Sing. vor

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 So 28.06.2009
Autor: Stern123

Ich verstehe nicht ganz, was sich ändert, wenn ich z = x + iy setze ... ?!

Bezug
                        
Bezug
Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 So 28.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

mit $z=x+iy$ ist [mm] $|f(z)|=e^{\frac{x}{x^2+y^2}}$ [/mm]

Nimmst du nun etwa die Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] her, so gilt zwar [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)$, [/mm] aber [mm] $e^{\frac{x_n}{x_n^2+_n^2}}=e^{\frac{n^4}{n^4+n^2}}\longrightarrow e^1=e\neq\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm]

Also nicht [mm] $\lim\limits_{z\to 0}|f(z)|=\infty$ [/mm] und damit liegt eine wesentl. Singular. vor.

Aber wie gesagt: einfacher und viel schneller über die Laurentreihe wie oben erwähnt

LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Singularität: keine weitere Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 So 28.06.2009
Autor: Stern123

Okay. Danke, jetzt hab ich's verstanden!
Die Laurent-Reihe hatten wir damals, als wir in der Vorlesung das Beispiel gemacht haben, noch nicht.
Deshalb wollte ich wissen, wie man's noch anders erklären kann.

Bezug
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