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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 26.02.2012 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | | Zu bestimmen ist die Singulärwertzerlegung von [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 } [/mm] |
Hallo,
ich finde leider weder in unserem Skript, noch im Internet verständliche Anweisungen, wie genau eine Singulärwertzerlegung funktioniert.
Könnte mir jemand die einzelnen Schritte netterweise kurz erläutern, dann würde ich versuchen diese zu berechnen.
Ich weiß, dass [mm] A^{T}A [/mm] berechnet werden muss und davon die Eigenwerte, sowie zugehörige Eigenvektoren:
[mm] A^{T}A=\pmat{ 5 & 4 \\ 4 & 5 }
[/mm]
charakteristisches Polynom: x²-10x+9
Eigenwerte: [mm] x_{1}=1, x_{2}=9
[/mm]
Eigenvektoren
zu [mm] x_{1}=1:
[/mm]
[mm] (1-A^{T}A)=\pmat{ -4 & -4 \\ -4 & -4 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -4 & -4 \\ -4 & -4 }\sim\pmat{ -4 & -4 \\ 0 & 0 }
[/mm]
daraus ergibt sich der EV [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
zu [mm] x_{2}=9:
[/mm]
[mm] (9-A^{T}A)=\pmat{ 4 & -4 \\ -4 & 4 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & -4 \\ -4 & 4 }\sim\pmat{ 4 & -4 \\ 0 & 0 }
[/mm]
daraus ergibt sich der EV [mm] v_{2}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Was hat es jetzt mit den zu erstellenden Matrizen U und V auf sich? Was genau stellen diese dar?
Was ist der nächste Schritt? (Bitte verständlich erklären :-D)
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo paula_88,
> Zu bestimmen ist die Singulärwertzerlegung von [mm]A=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 }[/mm]
>
> Hallo,
> ich finde leider weder in unserem Skript, noch im Internet
> verständliche Anweisungen, wie genau eine
> Singulärwertzerlegung funktioniert.
> Könnte mir jemand die einzelnen Schritte netterweise kurz
> erläutern, dann würde ich versuchen diese zu berechnen.
>
> Ich weiß, dass [mm]A^{T}A[/mm] berechnet werden muss und davon die
> Eigenwerte, sowie zugehörige Eigenvektoren:
>
> [mm]A^{T}A=\pmat{ 5 & 4 \\ 4 & 5 }[/mm]
>
> charakteristisches Polynom: x²-10x+9
> Eigenwerte: [mm]x_{1}=1, x_{2}=9[/mm]
>
> Eigenvektoren
> zu [mm]x_{1}=1:[/mm]
> [mm](1-A^{T}A)=\pmat{ -4 & -4 \\ -4 & -4 }[/mm]
> [mm]\pmat{ -4 & -4 \\ -4 & -4 }\sim\pmat{ -4 & -4 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> daraus ergibt sich der EV [mm]v_{1}=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> zu [mm]x_{2}=9:[/mm]
> [mm](9-A^{T}A)=\pmat{ 4 & -4 \\ -4 & 4 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 4 & -4 \\ -4 & 4 }\sim\pmat{ 4 & -4 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> daraus ergibt sich der EV [mm]v_{2}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja, das ist soweit richtig.
> Was hat es jetzt mit den zu erstellenden Matrizen U und V
> auf sich? Was genau stellen diese dar?
Nach ![[]](/images/popup.gif) hier wird die Matrix V aus den Eigenvektoren von [mm]A^{T}A[/mm] gebildet.
Diese hast Du schon berechnet.
U kann aus den Eigenvektoren von [mm]A A^{T}[/mm] erhalten werden.
> Was ist der nächste Schritt? (Bitte verständlich
> erklären :-D)
>
> Vielen Dank im Voraus.
Gruss
MathePower
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Hallo paula_88,
> Vielen Dank für die Antwort MathePower, allerdings habe
> ich die Singulärwertzerlegung noch nicht vollständig
> hinbekommen.
>
> > Nach
> >
> hier
> > wird die Matrix V aus den Eigenvektoren von [mm]A^{T}A[/mm]
> > gebildet.
> > Diese hast Du schon berechnet.
> >
> > U kann aus den Eigenvektoren von [mm]A A^{T}[/mm] erhalten werden.
> >
>
> V hatte ich dann ja schon berechnet:
> [mm]V=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> Nun zu U:
>
> [mm]AA^{T}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 }\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 }^{T}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 8 }[/mm]
>
> das charakteristische Polynom ist hierbei -x³+10x²-9x
> und die Eigenwerte: 0, 1, 9
>
> für die zugehörigen Eigenvektoren habe ich raus:
>
> EW 0:
> [mm](0-AA^{T})=\pmat{ -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -8 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -8 }\sim\pmat{ -1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> somit ist [mm]u_{1}=\vektor{-2\\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> EW 1:
> [mm](1-AA^{T})=\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & -7 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & -7 }\sim\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & -7 }[/mm]
>
> somit ist [mm]u_{2}=\vektor{-1\\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> EW 9:
> [mm](9-AA^{T})=\pmat{ 8 & 0 & -2 \\ 0 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 8 & 0 & -2 \\ 0 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 1 }\sim\pmat{ 0 & -8 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 1 }[/mm]
>
> somit ist [mm]u_{2}=\vektor{1\\ 1 \\ 4}[/mm]
>
> Somit ist mein [mm]U=\pmat{ -2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Ist das soweit wieder richtig?
>
Die Matrizen sind richtig.
U und V müssen allerdings orthonormale Matrizen sein.
> Jetzt fehlt mir doch noch die dritte Matrix mit den
> Singulärwerten oder?
Die Matrix S ergibt sich aus den Eigenwerten der Matrix [mm]AA^{T}[/mm]
Aus den Eigenwerten ist die Wurzel zu ziehen.
Diese Werte stehen dann in der Matrix S.
> Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich die erstellen
> kann.
> Hilfe bitte 
>
> Liebe Grüße
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 27.02.2012 | | Autor: | paula_88 |
Hallo an alle,
>
> Die Matrizen sind richtig.
>
> U und V müssen allerdings orthonormale Matrizen sein.
Das heißt? Worauf muss ich genau achten? Bzw was genau muss ich verändern, damit ich V und U korrekt habe?
>
>
> > Jetzt fehlt mir doch noch die dritte Matrix mit den
> > Singulärwerten oder?
>
>
> Die Matrix S ergibt sich aus den Eigenwerten der Matrix
> [mm]AA^{T}[/mm]
>
> Aus den Eigenwerten ist die Wurzel zu ziehen.
> Diese Werte stehen dann in der Matrix S.
>
Das heißt S hat einfach auf der Diagonale die 0, 1 und 9?
[mm] S=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 } [/mm] ???
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo paula_88,
> Hallo an alle,
> >
> > Die Matrizen sind richtig.
> >
> > U und V müssen allerdings orthonormale Matrizen sein.
>
> Das heißt? Worauf muss ich genau achten? Bzw was genau
> muss ich verändern, damit ich V und U korrekt habe?
>
Nun, die Spalten von U und V sind zu normieren.
Dann musst Du gegebenfalls noch auf die Reihenfolge
der Spalten in U und V achten, d.h.
Der Eigenvektor zum Eigenwert 9 sollte in V
an der gleichen Stelle stehen, wie der in U.
> >
> >
> > > Jetzt fehlt mir doch noch die dritte Matrix mit den
> > > Singulärwerten oder?
> >
> >
> > Die Matrix S ergibt sich aus den Eigenwerten der Matrix
> > [mm]AA^{T}[/mm]
> >
> > Aus den Eigenwerten ist die Wurzel zu ziehen.
> > Diese Werte stehen dann in der Matrix S.
> >
>
> Das heißt S hat einfach auf der Diagonale die 0, 1 und 9?
> [mm]S=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 }[/mm] ???
Das sind erst die quadratrischen Eigenwerte.
Sorry, ich habe die Matrix [mm]A^{T}A[/mm] gemeint.
Ausserdem ist bekannt, dass S eine Matrix mit 3 Zeilen und 2 Spalten ist.
>
> Vielen Dank für die Hilfe
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Di 28.02.2012 | | Autor: | paula_88 |
Hallo,
> Nun, die Spalten von U und V sind zu normieren.
Ok, das habe ich gemacht, und habe raus:
[mm] V=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
U= [mm] \pmat{ \bruch{-2}{3} & \bruch{-2}{\wurzel{2} & \bruch{1}{\wurzel{18}}} \\ \bruch{-2}{3} & \bruch{-2}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{18}} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{4}{\wurzel{18}}}
[/mm]
Muss ich die Matrizen immer normieren? Woran erkenn ich wann ich eine Matrix nicht normieren muss?
>
> Dann musst Du gegebenfalls noch auf die Reihenfolge
> der Spalten in U und V achten, d.h.
>
> Der Eigenvektor zum Eigenwert 9 sollte in V
> an der gleichen Stelle stehen, wie der in U.
Wie geht das denn, die Eigenwerte sind doch meist unterschiedlich. Kann ich die Eigenvektoren nicht je der Größe der Eigenwerte von links nach rechts anordnen? (Habe ich jetzt so gemacht.)
> Das sind erst die quadratrischen Eigenwerte.
>
> Sorry, ich habe die Matrix [mm]A^{T}A[/mm] gemeint.
Ok, dann sind die quadratischen Eigenwerte für S schonmal 1 und 9.
Was benötige ich noch?
Ich habe ehrlich gesagt noch nicht ganz verstanden, wie diese Matrix aufgebaut ist und was genau diese darstellt.
>
> Ausserdem ist bekannt, dass S eine Matrix mit 3 Zeilen und
> 2 Spalten ist.
Woher ist das bekannt? Gibt es da eine einheitliche "Regel"?
Vielen Dank für die Geduld
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Hallo paula_88,
> Hallo,
>
> > Nun, die Spalten von U und V sind zu normieren.
>
> Ok, das habe ich gemacht, und habe raus:
> [mm]V=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> U= [mm]\pmat{ \bruch{-2}{3} & \bruch{-2}{\wurzel{2} & \bruch{1}{\wurzel{18}}} \\ \bruch{-2}{3} & \bruch{-2}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{18}} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{4}{\wurzel{18}}}[/mm]
>
Die 2. Spalte von U stimmt nicht.
Wenn Du V so beibehältst, dann müssen die 1. und 3. Spalte vin U vertauscht werden.
Mit den obigen Matrizen ist [mm]USV^{T} \not= A[/mm]
> Muss ich die Matrizen immer normieren? Woran erkenn ich
> wann ich eine Matrix nicht normieren muss?
>
Wenn die Spaltenvektoren nicht den Betrag 1 haben.
> >
> > Dann musst Du gegebenfalls noch auf die Reihenfolge
> > der Spalten in U und V achten, d.h.
> >
> > Der Eigenvektor zum Eigenwert 9 sollte in V
> > an der gleichen Stelle stehen, wie der in U.
>
> Wie geht das denn, die Eigenwerte sind doch meist
> unterschiedlich. Kann ich die Eigenvektoren nicht je der
> Größe der Eigenwerte von links nach rechts anordnen?
> (Habe ich jetzt so gemacht.)
>
>
> > Das sind erst die quadratrischen Eigenwerte.
> >
> > Sorry, ich habe die Matrix [mm]A^{T}A[/mm] gemeint.
>
> Ok, dann sind die quadratischen Eigenwerte für S schonmal
> 1 und 9.
> Was benötige ich noch?
> Ich habe ehrlich gesagt noch nicht ganz verstanden, wie
> diese Matrix aufgebaut ist und was genau diese darstellt.
>
Die Matrix S sieht, bei dem oben angegeben V, dann so aus: [mm]\pmat{3 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0}[/mm]
> >
> > Ausserdem ist bekannt, dass S eine Matrix mit 3 Zeilen und
> > 2 Spalten ist.
>
> Woher ist das bekannt? Gibt es da eine einheitliche
> "Regel"?
>
Es muss doch gelten: [mm]A=USV^{T}[/mm]
,wobei U und V quadratische Matrizen sind.
> Vielen Dank für die Geduld
Gruss
MathePower
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