Sind diese Mengen offen? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Do 08.06.2006 | | Autor: | enoemos |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden Mengen M reeller Zahlen und entscheiden Sie jeweils, ob sie offen sind und ob sie abgeschlossen sind. Tragen Sie dementsprechend "ja" oder "nein" in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
M ist offen M ist abgeschlossen
(1) M = [1, 2) [mm] \cup [/mm] [2, 3)
(2) M = [1, 2] [mm] \cup [/mm] [2, 3]
(3) M = [1, 3) [mm] \cup [/mm] [2, 4]
(4) M = (1, 3) [mm] \cup [/mm] (2, 4)
(5) M = {1, 2} [mm] \cup [/mm] {2, 3}
(6) M = {1, 3} [mm] \cup [/mm] {2, 4}
(7) M = [mm] \IN[/mm] [mm] \cup [/mm] {0}
(8) M = [mm] \IZ
[/mm]
(9) M = [mm] \IR[/mm] [mm] \cup [/mm] {0}
(10) M = [mm] \IQ[/mm] [mm] \cup [/mm] {1} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage ist, ob ihr meine Ergebnisse als korrekt anseht:
(die Kästchen habe ich weggelassen)
offen abgeschlossen
(1) nein nein
(2) nein ja
(3) nein ja
(4) ja nein
die vier sind doch wohl hoffentlich richtig
(5) nein ja
Ich würde sagen, dass die Menge {1, 2, 3}
abgeschlossen ist, da 1 und 3 die Ränder sind.
(6) nein ja
siehe (5)
(7) nein ja
0 sehe ich als linken Rand an und sage die Menge ist
abgeschlossen, weil [mm] \IR [/mm] größer als [mm] \IN [/mm] ist.
Keine Ahnung ob das Sinn macht ?!?
(8) nein ja
Denn [mm] \IZ [/mm] < [mm] \IR [/mm] ...
(9) ja nein
[mm] \IR [/mm] ist in [mm] \IR [/mm] offen, die 0 ändert IMHO nichts
(10) nein ja
[mm] \IQ [/mm] < [mm] \IR, [/mm] 1 ist unerheblich
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Hallo und guten Morgen,
> offen abgeschlossen
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> (1) nein nein
> (2) nein ja
> (3) nein ja
> (4) ja nein
> die vier sind doch wohl hoffentlich richtig
Ja, das stimmt.
>
> (5) nein ja
> Ich würde sagen, dass die Menge {1, 2, 3}
> abgeschlossen ist, da 1 und 3 die Ränder sind.
>
Die Antwort stimmt, die Begründung nicht. Der Rand dieser Menge ist die Menge selber, also [mm] \{1,2,3\}.
[/mm]
> (6) nein ja
> siehe (5)
>
> (7) nein ja
> 0 sehe ich als linken Rand an und sage die Menge ist
> abgeschlossen, weil [mm]\IR[/mm] größer als [mm]\IN[/mm] ist.
> Keine Ahnung ob das Sinn macht ?!?
>
Die Menge ist in der Tat abeschl. und nicht offen, die Begründung stimmt wieder nicht.
Zeig doch zB, dass das Komplement offen ist: Nimm ein [mm] q\in \IR\setminus (\IN\cup\{0\}), [/mm] dann ist ja für
[mm] r:=\min\{q-\lfloor q\rfloor, \lceil q\rceil -q\}\slash [/mm] 2 offendbar
(q-r, [mm] q+r)\subseteq \IR\setminus (\IN\cup\{0\}).
[/mm]
Begründung zu [mm] \IZ [/mm] ist analog, zu [mm] \IQ: [/mm] Diese Menge ist weder offen noch abgeschlossen, [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR
[/mm]
und [mm] \IR\setminus \IQ [/mm] liegt ebenfalls dicht in [mm] \IR.
[/mm]
[mm] \IR [/mm] selber ist ja offenbar offen und abgeschlossen.
Gruss,
Mathias
> (8) nein ja
> Denn [mm]\IZ[/mm] < [mm]\IR[/mm] ...
>
> (9) ja nein
> [mm]\IR[/mm] ist in [mm]\IR[/mm] offen, die 0 ändert IMHO nichts
>
> (10) nein ja
> [mm]\IQ[/mm] < [mm]\IR,[/mm] 1 ist unerheblich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 12.06.2006 | | Autor: | enoemos |
Leider habe ich zwei Fehler in die Aufgabenstellung gesetzt; richtig wären:
(9) M = [mm] \IR [/mm] \ {0}
und
(10) M = [mm] \IQ [/mm] \ {1}
Sind die folgenden Ergebnisse so richtig?
(6) nein ja
(7) nein ja
(8) nein ja
(9) ja nein
(10) nein nein
Den Begriff des Randes in diesem Zusammenhang hab ich wohl noch nicht verstanden. Ich dachte dies wären einfach die beiden kleinsten und größten Elemente der Menge.
Bei (9) habe ich mir gedacht, dass das Komplement, also {0} abgeschlossen ist und die Menge daher offen sein muss.
Bei der (10) ist ja das Komplement [mm] \IR [/mm] \ ( [mm] \IQ \cup [/mm] {1}) aber ich weiß nicht genau ob das jetzt wirklich weder offen noch abgeschlossen ist.
MfG enoemos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mo 12.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo enoemos,
> Leider habe ich zwei Fehler in die Aufgabenstellung
> gesetzt; richtig wären:
> (9) M = [mm]\IR[/mm] \ {0}
> und
> (10) M = [mm]\IQ[/mm] \ {1}
>
> Sind die folgenden Ergebnisse so richtig?
>
> (6) nein ja
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (7) nein ja
> (8) nein ja
> (9) ja nein
> (10) nein nein
>
> Den Begriff des Randes in diesem Zusammenhang hab ich wohl
> noch nicht verstanden. Ich dachte dies wären einfach die
> beiden kleinsten und größten Elemente der Menge.
Nein, der Rand ist in diesem Zusammenhang etwas anders zu sehen:
- Das innere einer Menge M ist die "größte" offene Teilmenge von M (gibt es immmer, ist auch eindeutig: man vereinige einfach alle offenen Teilmengen von M)
- Der Abschluss von M ist dei kleinste abgeschlossene Obermenge von M (da kann man ähnlich argumentieren)
- Der Rand von M ist der Abschluss ohne das innere...
Eine Menge kann also gleich ihrem Rand sein, sie kann aber auch gar keinen haben, da sind die wildesten Kombinationen möglich.
Der Begriff des Randes macht so sogar in Räumen Sinn, wo es keinen Ordnungsbegriff wie in [mm] \IR [/mm] gibt, also etwa für Teilmengen des [mm] \IR^n.
[/mm]
>
> Bei (9) habe ich mir gedacht, dass das Komplement, also {0}
> abgeschlossen ist und die Menge daher offen sein muss.
>
Die Begründung ist O.K.
> Bei der (10) ist ja das Komplement [mm]\IR[/mm] \ ( [mm]\IQ \cup[/mm] {1})
> aber ich weiß nicht genau ob das jetzt wirklich weder offen
> noch abgeschlossen ist.
Überleg Dir doch erst mal, ob [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] offen(oder abgeschlossen) ist. Die gleiche Argumentation zieht dann auch für [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] . Ändert sich daran was, wenn man die 1 weglässt?
>
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Mo 12.06.2006 | | Autor: | enoemos |
Deine Frage muß erst nochmal überlegen, hab gerade nicht so viel Zeit.
Könntest du bitte die beiden Erwähnungen meines Namens in deiner Antwort durch "enoemos" ersetzen? Ich hätte es doch lieber anonym ...
Leider konnte ich dir ja als newbie keine pn schicken.
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