Sind die Abbildungen linear? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll nachweisen, ob diese Abbildung linear ist.
[mm] f:R^2 \to [/mm] R, f(x,y)=x+y+3
Beschreibt diese Gleichung eine Ebene?
Wenn ich nachweisen will, dass es linear ist, wie stelle ich das an?
Ich kenne die Gleichung, f(z*u)=z*f(u)
weiss aber leider nicht, wie ich sie darauf anwenden kann,
Vielen Dank
Philipp
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Hallo!
Diese Gleichung kannst du in der Tat als Ebene im 3D-Raum verstehen. Der Funktionswert ist dann z.
Zu der Linearität:
Du kannst den "Eingabeparameter" als Vektor sehen:
[mm] f\vektor{x\\y}=...
[/mm]
Jetzt setzt du [mm] a\vektor{x\\y}=\vektor{ax\\ay} [/mm] in die Formel ein, und schaust, ob du das a komplett aus geklammert bekommst. (Das geht!)
Aber du mußt ja nochwas zeigen: [mm] f\vektor{x_1\\y_1}+f\vektor{x_2\\y_2}=f\vektor{x_1+x_2\\y_1+y_2}
[/mm]
Hier ist es meistens hilfreich, beide Seiten der Gleichung auszurechnen, und dann zu vergleichen. Das direkte Umformen einer Seite in die andere Seite wird schnell mal unübersichtlich.
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> Zu der Linearität:
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> Du kannst den "Eingabeparameter" als Vektor sehen:
>
> [mm]f\vektor{x\\y}=...[/mm]
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> Jetzt setzt du [mm]a\vektor{x\\y}=\vektor{ax\\ay}[/mm] in die Formel
> ein, und schaust, ob du das a komplett aus geklammert
> bekommst. (Das geht!)
Hallo,
nein, das geht nicht!!!
Es ist [mm] f(a\vektor{x\\y})\not=af(\vektor{x\\y}).
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> ich soll nachweisen, ob diese Abbildung linear ist.
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> [mm]f:R^2 \to[/mm] R, f(x,y)=x+y+3
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> Beschreibt diese Gleichung eine Ebene?
> Wenn ich nachweisen will, dass es linear ist, wie stelle
> ich das an?
> Ich kenne die Gleichung, f(z*u)=z*f(u)
> weiss aber leider nicht, wie ich sie darauf anwenden
> kann,
Hallo,
das hat Dir EventHorizon ja schon gesagt, ebenso mußt Du für Linearität nach zeigen, daß für alle [mm] u:=\vektor{u_1 \\ u_2},v:=\vektor{v_1 \\ v_2} \in \IR^2 [/mm] gilt f(u+v)=f(u)+f(v).
Eine Sache gibt es, die für Lineare Abbildungen immer erfüllt sein muß, und welche man sehr schnell sieht:
Durch eine lineare Abbildung wird immer die Null auf die Nullabgebildet, und daß das hier nicht der Fall ist, sieht man sofort.
Gruß v. Angela
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