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Forum "Lineare Abbildungen" - Sind die Abbildungen linear?
Sind die Abbildungen linear? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sind die Abbildungen linear?: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 18.05.2014
Autor: Mathe93

Aufgabe
Welche der folgenden Abbildungen [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] sind linear?
1)f(x,y)=xy
2)f(x,y)=x
3)f(x,y)=2x+3y
4)f(x,y)=|x|-|y|

Meine Lösung:
1.) Es seien [mm] (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2. [/mm]
Zur zeigen:
[mm] f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}+x_{2})*(y_{1}+y_{2}) [/mm]
ist das selbe wie:
[mm] f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(x_{1}*y_{1})+(x_{2}*y_{2}) [/mm]
==> Die Abbildung ist nicht linear!

2.)Es seien [mm] (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2. [/mm]
Zur zeigen:
[mm] f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}+x_{2}) [/mm]
ist das selbe wie:
[mm] f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(x_{1})+(x_{2})=(x_{1}+x_{2}) [/mm]
Und:
[mm] f(\lambda*x,\lambda*y)=\lambda*f(x,y) [/mm]
[mm] f(\lambda*x,\lambda*y)=\lambda*x [/mm] und [mm] \lambda*x= \lambda*f(x,y) [/mm]
==> Diese Abbildung ist linear!

3.)Es seien [mm] (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2. [/mm]
Zur zeigen:
[mm] f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=2*(x_{1}+x_{2})+3*(y_{1}+y_{2}) [/mm]
ist das selbe wie:
[mm] f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(2*x{1}+3*y_{1})+(2*x_{2}+3*y_{2})=2*(x_{1}+x_{2})+3*(y_{1}+y_{2}) [/mm]
Und:
[mm] f(\lambda*x,\lambda*y)=\lambda*f(x,y) [/mm]
[mm] f(\lambda*x,\lambda*y)=2*\lambda x+3*\lambda [/mm] ist gleich [mm] \lambda*f(x,y) [/mm]
==> Diese Abbildung ist linear!

4.)Es seien [mm] (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2. [/mm]
Zur zeigen:
[mm] f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=|x_{1}+x_{2}|-|y_{1}+y_{2}| [/mm]
ist das selbe wie:
[mm] f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(|x_{1}|-|y_{1}|)+(|x_{2}|-|y_{2}|)=|x_{1}+x_{2}|-|y_{1}+y_{2}| [/mm]
Und:
[mm] f(\lambda*x,\lambda*y))=\lambda*f(x,y) [/mm]
[mm] f(\lambda*x,\lambda*y)=|\lambda*x|-|\lambda*y|) [/mm] und [mm] \lambda*f(x,y)=\lambda*(|x|-|y|)=\lambda*|x|+\lambda*|y| [/mm]
==> Die Abbildung ist nicht linear!

Ist das so richtig?(Es könnten Tippfehler entstanden sein da der Quelltext sehr verwirrend aussieht :)!)
        
Bezug
Sind die Abbildungen linear?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 18.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Welche der folgenden Abbildungen [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] sind
> linear?
> 1)f(x,y)=xy
> 2)f(x,y)=x
> 3)f(x,y)=2x+3y
> 4)f(x,y)=|x|-|y|
> Meine Lösung:
> 1.) Es seien [mm](x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2.[/mm]
> Zur
> zeigen:

>
> [mm]f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}+x_{2})*(y_{1}+y_{2})[/mm]
> ist das selbe wie:
> [mm]f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(x_{1}*y_{1})+(x_{2}*y_{2})[/mm]
> ==> Die Abbildung ist nicht linear!

Richtig. [ok]

>
> 2.)Es seien [mm](x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2.[/mm]
> Zur
> zeigen:

>
> [mm]f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}+x_{2})[/mm]
> ist das selbe wie:

>
> [mm]f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(x_{1})+(x_{2})=(x_{1}+x_{2})[/mm]
> Und:
> [mm]f(\lambda*x,\lambda*y)=\lambda*f(x,y)[/mm]
> [mm]f(\lambda*x,\lambda*y)=\lambda*x[/mm] und [mm]\lambda*x= \lambda*f(x,y)[/mm]

>
> ==> Diese Abbildung ist linear!

Auch richtig. [ok]

>
> 3.)Es seien [mm](x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2.[/mm]
> Zur
> zeigen:

>
> [mm]f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=2*(x_{1}+x_{2})+3*(y_{1}+y_{2})[/mm]
> ist das selbe wie:

>
> [mm]f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(2*x{1}+3*y_{1})+(2*x_{2}+3*y_{2})=2*(x_{1}+x_{2})+3*(y_{1}+y_{2})[/mm]
> Und:
> [mm]f(\lambda*x,\lambda*y)=\lambda*f(x,y)[/mm]
> [mm]f(\lambda*x,\lambda*y)=2*\lambda x+3*\lambda[/mm] ist gleich
> [mm]\lambda*f(x,y)[/mm]
> ==> Diese Abbildung ist linear!

Korrekt. [ok]
>
> 4.)Es seien [mm](x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}) \in \IR^2.[/mm]
> Zur
> zeigen:

>
> [mm]f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=|x_{1}+x_{2}|-|y_{1}+y_{2}|[/mm]
> ist das selbe wie:

>
> [mm]f(x_{1}+y_{1})+f(x_{2}+y_{2})=(|x_{1}|-|y_{1}|)+(|x_{2}|-|y_{2}|)=|x_{1}+x_{2}|-|y_{1}+y_{2}|[/mm]
> Und:
> [mm]f(\lambda*x,\lambda*y))=\lambda*f(x,y)[/mm]
> [mm]f(%5Clambda*x%2C%5Clambda*y)%3D%7C%5Clambda*x%7C-%7C%5Clambda*y%7C)[/mm] und
> [mm]\lambda*f(x,y)=\lambda*(|x|-|y|)=\lambda*|x|+\lambda*|y|[/mm]
> ==> Die Abbildung ist nicht linear!

>
Auch korrekt. [ok]

> Ist das so richtig?(Es könnten Tippfehler entstanden sein
> da der Quelltext sehr verwirrend aussieht :)!)

Wie gesagt: deine Resultate sind allesamt richtig. Was ich verwirrend finde ist nicht dein Quelltext sondern deine Schreibweise. Ich würde etwa im ersten Fall einfach

[mm] f((x_1,y_1)+(x_2,y_2))=f(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2)(y_1+y_2)\ne{x_1y_1+x_2y_2}=f(x_1,y_1)*f(x_2,y_2) [/mm]

schreiben.

Gruß, Diophant
Bezug
                
Bezug
Sind die Abbildungen linear?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 So 18.05.2014
Autor: Mathe93

Ok so wie du das schreibst erspart man sich eine Menge!
Vielen Dank! :)
Bezug
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