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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Do 10.06.2010 | | Autor: | afser |
| Aufgabe | Finden Sie alle x ∈ [mm] \IZ [/mm] für die folgende Kongruenzen gelten:
x [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 5)
x [mm] \equiv [/mm] 2 (mod 11)
x [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 9) |
Liebe Community,
bei der Klausur-Vorbereitung bin ich auf die hier angegebene Übungs-Aufgabe gestoßen. Nach Anleitung aus dem entsprechenden Wikipedia-Artikel habe ich den chinesischen Restsatz angewendet. Leider komme ich jedoch nicht zum richtigen Ergebnis (laut http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/chinesischerRestsatz.htm : x [mm] \equiv [/mm] 156 mod 495 ).
Ich würde mich also freuen, wenn jemand den Fehler in meiner Berechnung findet. Ich habe es auch mit einer vergleichbaren Aufgabe versucht und konnte dort ebenfalls nicht das richtige Ergebnis ermitteln und weiß nicht, wo ich falsch liege.
Hier mein Rechenweg:
M = 5 * 11 * 9 = 495
[mm] M_{1} [/mm] = M / 5 = 99
[mm] M_{2} [/mm] = M / 11 = 45
[mm] M_{3} [/mm] = M / 9 = 55
Berechnung der jeweiligen Linearkombinationen:
1 = 20 * 5 - 1 * 99
1 = 45 - 4 * 11
1 = 55 - 6 * 9
Daher also x = 1 * (-99) + 2 * (-44) + 3 * (-54) = -349
Daraus folgt aber -349 [mm] \equiv [/mm] 146 (mod 495).
Wo habe ich da etwas nicht verstanden? Vielen Dank im Voraus an alle, die sich hier die Mühe machen ;)
Viele Grüße,
afser
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Do 10.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie alle x ∈ [mm]\IZ[/mm] für die folgende Kongruenzen
> gelten:
>
> x [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 5)
> x [mm]\equiv[/mm] 2 (mod 11)
> x [mm]\equiv[/mm] 3 (mod 9)
> Liebe Community,
>
> bei der Klausur-Vorbereitung bin ich auf die hier
> angegebene Übungs-Aufgabe gestoßen. Nach Anleitung aus
> dem entsprechenden Wikipedia-Artikel habe ich den
> chinesischen Restsatz angewendet. Leider komme ich jedoch
> nicht zum richtigen Ergebnis (laut
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/chinesischerRestsatz.htm
> : x [mm]\equiv[/mm] 156 mod 495 ).
>
> Ich würde mich also freuen, wenn jemand den Fehler in
> meiner Berechnung findet. Ich habe es auch mit einer
> vergleichbaren Aufgabe versucht und konnte dort ebenfalls
> nicht das richtige Ergebnis ermitteln und weiß nicht, wo
> ich falsch liege.
>
> Hier mein Rechenweg:
>
> M = 5 * 11 * 9 = 495
>
> [mm]M_{1}[/mm] = M / 5 = 99
> [mm]M_{2}[/mm] = M / 11 = 45
> [mm]M_{3}[/mm] = M / 9 = 55
>
> Berechnung der jeweiligen Linearkombinationen:
> 1 = 20 * 5 - 1 * 99
> 1 = 45 - 4 * 11
> 1 = 55 - 6 * 9
>
> Daher also x = 1 * (-99) + 2 * (-44) + 3 * (-54) = -349
>
> Daraus folgt aber -349 [mm]\equiv[/mm] 146 (mod 495).
Das ist ja zumindest schon mal wahr (hilft aber wohl nicht weiter).
Ich würde so anfangen:
Aus der 3. Bedingung folgt x=9k+3.
Einsetzten in die zweite Bedingung ergibt
9k+3 [mm]\equiv[/mm] 2 (mod 11)
9k [mm]\equiv[/mm] -1 (mod 11)
-2k [mm]\equiv[/mm] -1 (mod 11)
2k [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 11)
2k [mm]\equiv[/mm] 12 (mod 11)
k [mm]\equiv[/mm] 6 (mod 11)
k=11n+6
Einsetzen in die erste Bedingung...
Gruß Abakus
>
> Wo habe ich da etwas nicht verstanden? Vielen Dank im
> Voraus an alle, die sich hier die Mühe machen ;)
> Viele Grüße,
> afser
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Fr 11.06.2010 | | Autor: | afser |
Hallo Abakus,
besten Dank für deine Anregung. Ich habe es auf diese Weise lösen können (in umgekehrter Reihenfolge). Für die Klausur morgen hilft es also definitiv weiter - danke!
Warum der erste Weg nicht funktioniert weiß ich zwar immer noch nicht, aber das ist jetzt erst einmal nebensächlich.
Viele Grüße,
afser
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