Simpsonverfahren < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:36 So 10.02.2013 | | Autor: | matheist |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{1}^{2}{x*lnx dx} [/mm] sowohl durch partielle Integration als auch numerisch mithilfe der Simpsonregel. Starten Sie dabei das Simpsonverfahren mit 2n=2, rechnen Sie mit fünf Stellen nach dem Komma und verwenden Sie die Genauigkeitsschranke [mm] \varepsilon=0,001. [/mm] |
Partielle Integration:
[mm] \integral_{1}^{2}xlnxdx=\bruch{1}{2} x^2 lnx-\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{2} x dx}=[\bruch{1}{2} x^2 lnx-\bruch{1}{4} x^2]_1^2\approx0,63629
[/mm]
Simpsonverfahren
n=1 und [mm] h=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x_0=0 \to y_0= [/mm] keine Lösung
[mm] x_1=0,5 \to y_1=\bruch{1}{2}ln|\bruch{1}{2}|
[/mm]
[mm] x_2=1 \to y_2=0
[/mm]
[mm] Si_1=\bruch{0,5}{3}(4*(\bruch{1}{2}ln|\bruch{1}{2}|))=-0,23105
[/mm]
Verdoppele ich n so bekomme ich für [mm] Si_2=-0,24520 [/mm] womit [mm] |Si_2 [/mm] - [mm] Si_1| [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Sind die Ergebnisse / Ansätze richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 10.02.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{1}^{2}{x*lnx dx}[/mm]
> sowohl durch partielle Integration als auch numerisch
> mithilfe der Simpsonregel. Starten Sie dabei das
> Simpsonverfahren mit 2n=2, rechnen Sie mit fünf Stellen
> nach dem Komma und verwenden Sie die Genauigkeitsschranke
> [mm]\varepsilon=0,001.[/mm]
> Partielle Integration:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}xlnxdx=\bruch{1}{2} x^2 lnx-\integral_{1}^{2}{\bruch{1}{2} x dx}=[\bruch{1}{2} x^2 lnx-\bruch{1}{4} x^2]_1^2\approx0,63629[/mm]
>
Das scheint OK
> Simpsonverfahren
>
> n=1 und [mm]h=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x_0=0 \to y_0=[/mm] keine Lösung
> [mm]x_1=0,5 \to y_1=\bruch{1}{2}ln|\bruch{1}{2}|[/mm]
> [mm]x_2=1 \to y_2=0[/mm]
>
>
> [mm]Si_1=\bruch{0,5}{3}(4*(\bruch{1}{2}ln|\bruch{1}{2}|))=-0,23105[/mm]
>
>
> Verdoppele ich n so bekomme ich für [mm]Si_2=-0,24520[/mm] womit
> [mm]|Si_2[/mm] - [mm]Si_1|[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm] ist.
>
> Sind die Ergebnisse / Ansätze richtig?
Hier bin ich mir nicht ganz sicher. Ich habe das auch mal gerechnet, komme aber auf andere Ergebnisse.
Ich habe die Formeln von ![[]](/images/popup.gif) hier benutzt und zwar die zweite alternative Formulierung.
Start ist bei mir [mm] x_0=1 [/mm] und falls n=1 ist, ist das Ende bei [mm] x_1=2. [/mm] Hier ergibt sich dann zu h=1 und das Ergebniss ist dann 1.099
Für n=2 ergibt sich 0.636
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 So 10.02.2013 | | Autor: | matheist |
Danke. Ok, das sieht schon besser.
Für die Fehlerabschätzung nehme ich dann wohl folgende Formel:
0,001 [mm] \ge \bruch{1}{2880} \to [/mm] 0,001 [mm] \ge [/mm] 0,00035
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 So 10.02.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe folgende Fehlerabschätzung benutzt:
[mm] \left|\integral_{1}^{2}{x*ln(x) dx}-x_k\right|<\epsilon [/mm] wobei [mm] \integral_{1}^{2}{x*ln(x) dx}=ln(4)-\bruch{3}{4} [/mm] gilt.
Was Du mit [mm] \bruch{1}{2880} [/mm] und der ganzen Formel meinst habe ich nicht verstanden.
Für [mm] \epsilon [/mm] =0.001 wird die Fehlergrenze schon für k=2 unterschritten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 So 10.02.2013 | | Autor: | matheist |
Super! Da steckte mein Denkfehler… Wenn es jemanden interessiert, hier die Lösung:
f(x)=xlnx
Gestartet wird mit n=1 und [mm] h=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x_0=1
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] x_2=2
[/mm]
[mm] Q_1(f) [/mm] = [mm] \bruch{0,5}{3} [/mm] (0 + [mm] \bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2}| [/mm] + [mm] 4*(\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2}|)+2*(\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2})) \approx [/mm] 0,70956
Nun verdoppeln wir n und bekommen damit n=2 und [mm] h=\bruch{1}{4}:
[/mm]
[mm] x_0=1
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{5}{4}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{6}{4}
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{7}{4}
[/mm]
[mm] x_4=2
[/mm]
[mm] Q_2(f) [/mm] = [mm] \bruch{0,25}{3} [/mm] (0 + 2ln|2| + [mm] 4*(\bruch{5}{4}ln|\bruch{5}{4}|+\bruch{7}{4}ln|\bruch{7}{4}|)+2*(\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2})) \approx [/mm] 0,63631
Da [mm] Q_1-Q_2=0,07325\ge\varepsilon [/mm] müssen wir n noch einmal verdoppeln: n=4 und [mm] h=\bruch{1}{8}:
[/mm]
[mm] x_0=1
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{9}{8}
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{10}{8}
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{11}{8}
[/mm]
[mm] x_4=\bruch{12}{8}
[/mm]
[mm] x_5=\bruch{13}{8}
[/mm]
[mm] x_6=\bruch{14}{8}
[/mm]
[mm] x_7=\bruch{15}{8}
[/mm]
[mm] x_8=2
[/mm]
[mm] Q_3(f) [/mm] = [mm] \bruch{0,125}{3} [/mm] (0 + 2ln|2| + [mm] 4*(\bruch{9}{8}ln|\bruch{9}{8}|+\bruch{11}{8}ln|\bruch{11}{8}|+\bruch{13}{8}ln|\bruch{13}{8}|+\bruch{13}{8}ln|\bruch{13}{8}|+\bruch{15}{8}ln|\bruch{15}{8}|)+2*(\bruch{5}{4}ln|\bruch{5}{4}+\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2}\bruch{7}{4}ln|\bruch{7}{4})) \approx [/mm] 0,63630
[mm] Q_2-Q_3=0,00001< \varepsilon [/mm] Die letzte Verdopplung hat also nicht mehr viel gebracht (in Bezug auf die vorgegebene Schranke).
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> Super! Da steckte mein Denkfehler… Wenn es jemanden
> interessiert, hier die Lösung:
>
> f(x)=xlnx
>
> Gestartet wird mit n=1 und [mm]h=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x_0=1[/mm]
> [mm]x_1=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]x_2=2[/mm]
>
> [mm]Q_1(f)[/mm] = [mm]\bruch{0,5}{3}[/mm] (0 + [mm]\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2}|[/mm] +
> [mm]4*(\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2}|)+2*(\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2})) \approx[/mm]
> 0,70956
>
> Nun verdoppeln wir n und bekommen damit n=2 und
> [mm]h=\bruch{1}{4}:[/mm]
>
> [mm]x_0=1[/mm]
> [mm]x_1=\bruch{5}{4}[/mm]
> [mm]x_2=\bruch{6}{4}[/mm]
> [mm]x_3=\bruch{7}{4}[/mm]
> [mm]x_4=2[/mm]
>
> [mm]Q_2(f)[/mm] = [mm]\bruch{0,25}{3}[/mm] (0 + 2ln|2| +
> [mm]4*(\bruch{5}{4}ln|\bruch{5}{4}|+\bruch{7}{4}ln|\bruch{7}{4}|)+2*(\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2})) \approx[/mm]
> 0,63631
>
> Da [mm]Q_1-Q_2=0,07325\ge\varepsilon[/mm] müssen wir n noch einmal
> verdoppeln: n=4 und [mm]h=\bruch{1}{8}:[/mm]
>
> [mm]x_0=1[/mm]
> [mm]x_1=\bruch{9}{8}[/mm]
> [mm]x_2=\bruch{10}{8}[/mm]
> [mm]x_3=\bruch{11}{8}[/mm]
> [mm]x_4=\bruch{12}{8}[/mm]
> [mm]x_5=\bruch{13}{8}[/mm]
> [mm]x_6=\bruch{14}{8}[/mm]
> [mm]x_7=\bruch{15}{8}[/mm]
> [mm]x_8=2[/mm]
>
> [mm]Q_3(f)[/mm] = [mm]\bruch{0,125}{3}[/mm] (0 + 2ln|2| +
> [mm]4*(\bruch{9}{8}ln|\bruch{9}{8}|+\bruch{11}{8}ln|\bruch{11}{8}|+\bruch{13}{8}ln|\bruch{13}{8}|+\bruch{13}{8}ln|\bruch{13}{8}|+\bruch{15}{8}ln|\bruch{15}{8}|)+2*(\bruch{5}{4}ln|\bruch{5}{4}+\bruch{3}{2}ln|\bruch{3}{2}\bruch{7}{4}ln|\bruch{7}{4})) \approx[/mm]
> 0,63630
>
>
> [mm]Q_2-Q_3=0,00001< \varepsilon[/mm] Die letzte Verdopplung hat
> also nicht mehr viel gebracht (in Bezug auf die vorgegebene
> Schranke).
Das bedeutet aber keineswegs, dass man schon nach
der Berechnung von [mm] Q_2 [/mm] abbrechen könnte - denn
dann weiß ja man noch gar nicht, wie nahe man dem
Ziel schon ist.
LG , Al-Chw.
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
