Signum einer Permutation < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Man bestimme das Signum der folgenden Permutationen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 } \in S_{5} [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 8 & 4 & 7 } \in S_{8} [/mm] |
Ich habe keine Ahung, wie man ein Signum bestimmt. Ich habe mal ein bisschen danach gegooglet und habe Folgendes herausgefunden:
Das Signum ist enteder 1 oder -1, ersteres bei einer geraden Anzah von Fehlständen, letzteres bei einer ungeraden Zahl von Fehlständen.
Ein Fehlstand wäre es, wenn i<j und [mm] \sigma(i)>\sigma(j)
[/mm]
Außerdem heißt es im Skript zur Vorlesung:
[mm] sgn\pi [/mm] = [mm] \produkt_{1\le i
Ich habe keinerlei Ahnung, was nun i und j sind. Bräuchte dringend eine Guide für Dummies!
Danke!
LG Doemmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 27.01.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
![[]](/images/popup.gif) mathematik.de
erklärt es mit Beispiel
"Als Fehlstände einer Permutation werden die Zahlenpaare (i,j) bezeichnet, für die gilt: i < j und [mm] $\pi(i) [/mm] > [mm] \pi(j)$...." [/mm]
Kurz gesagt: "Verletzen die Bilder die Ordnung der Urbilder,
dann nennt man es Fehlstand der Permutation".
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:14 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
Hey, vielen Dank für die fixe Antwort. Diese Definition war bisher die beste, die ich gelesen habe.
Bei meinem ersten Beispiel habe ich dann also 10 Fehlstände, nämlich (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5).
Also ist das Signum 1. Sehe ich das richtig?
Das ist ja nun noch mäßig aufwendig, bei dem zweiten Beispiel wirds schon unübersichtlicher, wie funktioniert es dann, wenn n=100 ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 29.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
Hab noch eine theoretische Frage zu dieser Thematik:
Ich habe eine n-elementige Menge, dann gibt es n! Permutationen.
Ich glaube, dass es n!/2 Permutationen gibt, bei denen es eine gerade Anzahl von Fehlständen und ebenso n!/2 Permutationen mit einer ungeraden Anzahl von Fehlständen gibt.
Kann ich das voraussetzen oder müsste ich das beweisen? Wenn ja, wie?
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Hallo,
die Aussage ist richtig.
I.A. darfst Du nur das verwenden, was schon bewiesen wurde.
Beweisskizze:
Die Menge aller Permutationen ist die disjunkte Vereiniging der Mengen der "geraden" und "ungeraden" Permutationen. Zeige nun, dass diese beiden Mengen gleich mächtig sind, indem Du eine bijektive Abbildung angibst. Wähle dazu eine feste ungerade Permutation u und ordne jeder geraden Permutation g die Verkettung ug zu.
Gruß korbinian
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