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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:04 Sa 08.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Ist [mm] \tau \in S_n [/mm] eine Transposition, so sgn [mm] \tau [/mm] =-1 |
Hallo,
ich verstehe den beweis der Vo. nicht ganz:
Ist [mm] \tau [/mm] = (i j) (mit 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n ), so haben die Paare (i i+1), (i+1 j), (i i+2), (i +2 j),.., (i j-1) , (j-1 j) und (i j) die Eigenschaft aus der definitions des Signums. d.h. Zwei teilt nicht [mm] \omega [/mm] und sgn ( [mm] \tau) [/mm] =-1
Wobei wir schreiben: Für [mm] \sigma \in S_n [/mm] sei sgn [mm] (\sigma) [/mm] als [mm] (-1)^{\omega}, [/mm] wobei [mm] \omega [/mm] die Anzahl der Paare (i,j) mit 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n und [mm] \sigma(i) [/mm] > [mm] \sigma(j) [/mm] bezeichnet.
Ich verstehe nicht wieso die anzahl gerade ist...
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> Ist [mm]\tau \in S_n[/mm] eine Transposition, so sgn [mm]\tau[/mm] =-1
> Hallo,
> ich verstehe den beweis der Vo. nicht ganz:
> Ist [mm]\tau[/mm] = (i j) (mit 1 [mm]\le[/mm] i < j [mm]\le[/mm] n ), so haben die
> Paare (i i+1), (i+1 j), (i i+2), (i +2 j),.., (i j-1) ,
> (j-1 j) und (i j) die Eigenschaft aus der definitions des
> Signums. d.h. Zwei teilt nicht [mm]\omegaund[/mm] sgn ( [mm]\tau)[/mm] =-1
>
> Wobei wir schreiben: Für [mm]\sigma \in S_n[/mm] sei sgn [mm](\sigma)[/mm]
> als [mm](-1)^{\omega},[/mm] wobei [mm]\omega[/mm] die Anzahl der Paare (i,j)
> mit 1 [mm]\le[/mm] i < j [mm]\le[/mm] n und [mm]\sigma(i)[/mm] > [mm]\sigma(j)[/mm]
> bezeichnet.
>
> Ich verstehe nicht wieso die anzahl gerade ist...
Sehen wirklich so bei euch die Beweise aus?
[mm] $\omega$ [/mm] ist die Anzahl der Fehlstände, sprich die Anzahl der Paare mit (,ij) und [mm] $\sigma(i)>\sigma(j)$, [/mm] wie du schriebst.
Das Vorzeichen ist nun [mm] $(-1)^\omega$.
[/mm]
Ausführlich ist diese Tatsache hier beschrieben:
ftp://ftpmirror.your.org/pub/wikimedia/images/wikiversity/de/a/a9/Koerper_und_Galoistheorie_(Osnabrueck_2011)_Permutationsgruppen_Textabschnitt.pdf
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:31 Sa 08.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Danke für den link. Trotzdem würde ich gerne den beweis in der Vorlesung verstehen ;)
ALso wenn du diesen verstehst und ihn mir erklären kannst, dann fänd ich das toll!
LG
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Davon abgesehen, dass der Beweis etwas sehr wüst ist. Hast du keine konkrete Frage gestellt; bis auf:
> Ich verstehe nicht wieso die anzahl gerade ist..
Was meinst du mit Anzahl?
Bei Transpositionen ist [mm]\omega=1[/mm], also das Signum [mm] $(-1)^\omega=(-1)^1=-1$ [/mm] und somit ist die Anzahl von Fehlständen ungerade.
> die Eigenschaft aus der definitions des Signums. d.h. Zwei teilt nicht [mm]sgn (\sigma) =-1[/mm]
Das ist auch nicht zielführen, da das Signum eine Abbildung [mm]\operatorname{sgn}\colon S_n \to \{1,-1\}[/mm]ist. Somit teilt 2 nie das einen Wert aus dem Bildbereich vom Signum (in den ganzen Zahlen).
Kann es sein, dass es lauten sollte
> die Eigenschaft aus der definitions des Fehlstands
Wohlmöglich hast du schon irgendwo notiert, dass für Transpositionen $(k,k+1)$ das Sinum ungerade ist. Das mit den Paaren ist (mir auch) unverständlich soll vielleicht darauf abzielen, dass man jede beliebige Transposition $(i,j)$ als einen Nachbartausch $(k,k+1)$ darstellen kann.
Es geht aber wesentlich verständlicher.
Hauptidee bei einem solchen Beweis ist im Allgemeinen für [mm] $\tau=(a,b)$ [/mm] sich das Produkt
[mm] $\operatorname{sgn}(\tau)=\prod{i
anzuschauen und zu sehen, dass sich da vieles wegkürzt.
Gruß
wieschoo
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:11 Sa 08.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ich verlinke dir gerne:
S. 29.
http://www.unet.univie.ac.at/~a0406428/php/Algebraische_Strukturen_2012.pdf
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 08.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Aber ich denke ich verstehe den Beweis nun langsam..
Ich nimm mir die identität her, diese hat keine Fehlstände.
Dann wende ich die Transposition (i j) an.
und die Paare : (i i+1), (i+1 j), (i i+2), (i +2 j),.., (i j-1) , (j-1 j) und (i j) sind dann die Fehlstände.
Vom i und vom j alle dazwischen , also schonmal 2* k da noch (i j) dazukommt haben wir 2k +1. also 2 teilt nicht [mm] \omega.
[/mm]
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 10.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 10.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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