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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 04.11.2010 | | Autor: | extasic |
| Aufgabe | | [mm]\mbox{Sei } \Omega \mbox{ eine nichtleere Menge.\\
Zeige } A = \{ A \subseteq \Omega : A \mbox{ oder } A^c = \Omega \setminus A \mbox{ ist abzählbar} \} \mbox{ ist eine } \\
\sigma \mbox{-Algebra über \Omega}[/mm] |
Erst mal ist mir nicht ganz klar, was A denn nun gemäß dieser Definition enthält. Ich verstehe: A enthält alle Teilmengen von Omega und alle Komplemente (der Teilmengen von Omega?), die abzählbar sind. Richtig?
Nun muss ich drei Dinge zeigen:
1) Omega ist Teilmenge von A.
Da laut Definition A Teilmenge von Omega ist (bzw. alle Teilmengen von Omega enthält), ist Omega in A enthalten. Triviale Folgerung, richtig?
2) Wenn A eine Teilmenge von Omega enthält, dann auch deren Komplement
Das Komplement von A ist abzählbar. Nützt mir das hier etwas?
3) Wenn für jedes [mm]n \in \IN A_n [/mm] in A ist, so auch die abzählbare Vereinigung
Wie kann ich hier vorgehen? Wahrscheinlihc über das abzählbare Komplement, aber wie genau?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 04.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
> [mm]\mbox{Sei } \Omega \mbox{ eine nichtleere Menge.\\
Zeige } A = \{ A \subseteq \Omega : A \mbox{ oder } A^c = \Omega \setminus A \mbox{ ist abzählbar} \} \mbox{ ist eine } \\
\sigma \mbox{-Algebra über \Omega}[/mm]
>
> Erst mal ist mir nicht ganz klar, was A denn nun gemäß
> dieser Definition enthält. Ich verstehe: A enthält alle
> Teilmengen von Omega und alle Komplemente (der Teilmengen
> von Omega?), die abzählbar sind. Richtig?
>
Nein, A enthält alle Teilmengen von [mm]\Omega[/mm], für die gilt, dass sie selbst oder ihr Komplement abzählbar sind.
> Nun muss ich drei Dinge zeigen:
>
> 1) Omega ist Teilmenge von A.
>
> Da laut Definition A Teilmenge von Omega ist (bzw. alle
> Teilmengen von Omega enthält), ist Omega in A enthalten.
> Triviale Folgerung, richtig?
Also hier ist es so dass [mm]\Omega[/mm] enthalten ist, weil das Komplement von [mm]\Omega[/mm] die leere Menge ist und die ist auf jeden Fall abzählbar.
wie gehts denn nun weiter?
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 04.11.2010 | | Autor: | extasic |
Danke für die schnelle Antwort und die Erklärung zur Aufgabe selbst!
> Also hier ist es so dass [mm]\Omega[/mm] enthalten ist, weil das
> Komplement von [mm]\Omega[/mm] die leere Menge ist und die ist auf
> jeden Fall abzählbar.
>
> wie gehts denn nun weiter?
Gut, wenn Omega enthalten ist, ist der erste Punkt doch erfüllt, richtig?
Aber bei den anderen Punkten 2) und 3) hilft mir das trotzdem nicht weiter, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort und die Erklärung zur
> Aufgabe selbst!
>
> > Also hier ist es so dass [mm]\Omega[/mm] enthalten ist, weil das
> > Komplement von [mm]\Omega[/mm] die leere Menge ist und die ist auf
> > jeden Fall abzählbar.
> >
> > wie gehts denn nun weiter?
>
> Gut, wenn Omega enthalten ist, ist der erste Punkt doch
> erfüllt, richtig?
Ja
>
> Aber bei den anderen Punkten 2) und 3) hilft mir das
> trotzdem nicht weiter, oder?
Jetzt nehmen wir uns eine Menge $A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] her.
Zu zeigen: [mm] B:=A^c \in \mathcal{A}
[/mm]
Fall 1: [mm] A^c [/mm] ist abzählbar. Dann haben wir nach Def., dass B [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Fall 2: A ist abzählbar. Wegen [mm] B^c=(A^c)^c=A [/mm] ist dann [mm] B^c [/mm] abzählbar und somit B [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
>
Nun erledige Du mal 3)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 04.11.2010 | | Autor: | extasic |
Vielen Dank erst einmal!
Kannst du mir vielleicht noch einmal genau erklären, was ich bei 3) zeigen soll? Mir ist das nicht ganz klar. Ich teile die Menge in ihre Elemente [mm]A_n[/mm] auf, und dann soll die Vereinigung all der Elemente ebenfalls in A sein. Aber wie könnte es das denn nicht? Bitte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 04.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
zu zeigen:
[mm]A_1, A_2, A_3... \in A \Rightarrow \bigcup A_n \in A[/mm]
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 04.11.2010 | | Autor: | extasic |
> Hallo,
>
> zu zeigen:
>
> [mm]A_1, A_2, A_3... \in A \Rightarrow \bigcup A_n \in A[/mm]
>
> gruß
Also. Dies schreit für mich nach einer Fallunterscheidung, nämlich abhängig davon ob ein [mm]A_i[/mm] abzählbar ist, oder sein Komplement.
Wenn alle [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar sein würden, würde daraus Folgen, das die Vereinigung wieder abzählbar ist. Aber möglicherweise ist ein [mm] $A_j$ [/mm] überabzählbar, dann wäre die Vereinigung mit dieser Teilmenge doch überabzählbar, und damit nicht mehr in A, oder? Wie kann das ausgeschlossen werden, oder stehe ich auf dem Schlauch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Do 04.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
nehmen wir erst mal nur zwei [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2
[/mm]
wie du gesagt hast, sind beide abzählbar so auch die Vereinigung.
Sind beide nicht abzählbar, aber trotzdem in A enthalten, so sind ihre Komplemente abzählbar und trivialerweise in A enthalten, deshalb ist auch der Schnitt [mm]\mathcal{C}A_1 \cap \mathcal{C}A_1 \in A [/mm] und somit auch das Komplement des Schnittes also
[mm]\mathcal{C} \big(\mathcal{C}A_1 \cap \mathcal{C}A_1\big) \in A [/mm]
nach den de morganschen Regeln gitl:
[mm]\mathcal{C}A_1 \cap \mathcal{C}A_1=
\mathcal{C} (A_1 \cup A_2) [/mm]
also ist auch [mm]A_1 \cup A_2 \in A[/mm]
so jetzt musst du dir noch denn Fall anschauen wenn nur eins der beiden nicht abzählbar ist und das ganze dann auf n [mm] A_i's [/mm] übertragen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 04.11.2010 | | Autor: | extasic |
Danke für die schnelle Reaktion!
> Sind beide nicht abzählbar, aber trotzdem in A enthalten,
> so sind ihre Komplemente abzählbar und trivialerweise in A
> enthalten, deshalb ist auch der Schnitt [mm]\mathcal{C}A_1 \cap \mathcal{C}A_1 \in A[/mm]
> und somit auch das Komplement des Schnittes also
>
> [mm]\mathcal{C} \big(\mathcal{C}A_1 \cap \mathcal{C}A_1\big) \in A[/mm]
>
> nach den de morganschen Regeln gitl:
>
> [mm]\mathcal{C}A_1 \cap \mathcal{C}A_1=
\mathcal{C} (A_1 \cup A_2)[/mm]
>
> also ist auch [mm]A_1 \cup A_2 \in A[/mm]
Das habe ich verstanden, auch wenn ich für den letzten Schritt etwas länger gebraucht habe, vielen Dank!
>
> so jetzt musst du dir noch denn Fall anschauen wenn nur
> eins der beiden nicht abzählbar ist und das ganze dann auf
> n [mm]A_i's[/mm] übertragen.
>
Also gut, sei [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar, [mm] $A_j$ [/mm] nicht. Damit ist [mm] $A_i \in [/mm] A$ und [mm] $(A_j)^c$ [/mm] abzählbar. [mm] $(A_i \cup (A_j)^c) \in [/mm] A$. Wegen ii) muss auch [mm] $((A_i)^c \cup (A_j)^c) \in [/mm] A$ gelten. De Morgan angewendet habe ich [mm] $(A_i \cap A_j)^c \in [/mm] A$. Wegen ii) gilt [mm] $(A_i \cap A_j) \in [/mm] A$. Nur suche ich aber die Vereinigung und nicht den Schnitt.
Ist der Ansatz halbwegs richtig?
Danke für die Geduld ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Do 04.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wir betrachten
[mm]A_1,A_2, ... \in A[/mm]
auf jedenfall ist auch die Vereinigung der [mm]A_i[/mm] die abzählbar sind in [mm]A[/mm] enthalten.
Die Vereinigung der nichtabzählbaren ist auch enthalten siehe meinen letzten Beitrag.
Jetzt stellt sich noch die Frage ob die Vereinigung von abzählbaren und nicht abzählbaren enthalten ist.
Sei [mm]A_i \in A[/mm] abzälbar und [mm]A_j \in A[/mm] nichtabzählbar, somit aber [mm]\mathcal{C}A_j \in A[/mm] abzählbar laut Definition.
Natürlich ist auch [mm]\mathcal{C}A_i \in A[/mm]
Dann ist auch [mm] \mathcal{C}A_i \cap \mathcal{C}A_j \in A[/mm]
und dann auch
[mm] \mathcal{C} \big(\mathcal{C}A_i \cap \mathcal{C}A_j\big) \in A[/mm]
und nach de Morgan
[mm] \mathcal{C} \big(\mathcal{C}A_i \cap \mathcal{C}A_j\big) =
A_i \cup A_j\big)[/mm]
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Fr 05.11.2010 | | Autor: | fred97 |
So ganz lupenrein ist die Aufgabe nicht gelöst.
Sei $A:= [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$
[/mm]
Fall 1: alle [mm] A_i [/mm] sind abzählbar. Dann ist auch A abzählbar und somit $A [mm] \in \mathcal{A}$
[/mm]
Fall 2: es ex. ein j [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] A_j [/mm] ist nicht abzählbar. Da [mm] $A_j \in \mathcal{A}$, [/mm] muß [mm] A_j^c [/mm] abzählbar sein.
Wegen
[mm] $A^c= \bigcap_{i=1}^{\infty}A_i^c \subseteq A_j^c [/mm] $
ist dann auch [mm] A^c [/mm] abzählbar, also $A [mm] \in \mathcal{A}$
[/mm]
FRED
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