Sigma Algebra? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Do 17.05.2007 | | Autor: | Jan85 |
| Aufgabe | Sei R1 := {x [mm] \in [/mm] R /x [mm] \ge [/mm] 1} und [mm] \alpha [/mm] eine sigma-algebra über R1 , die alle offenen Intervalle (a,b) mit [mm] 1\le [/mm] a [mm] \le [/mm] b enthält. Zeigen Sie
1.) [mm] \alpha [/mm] enthält auch die Intervalle der Gestalt (a,b] , [a,b), [a,b]
2.)P((a,b] ) = P([a,b)) = P ([a,b])
3.) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R: {x} [mm] \in \alpha, [/mm] außerdem (a, [mm] \infty [/mm] ) [mm] \in \alpha
[/mm]
4.) Ist P((a,b)) = 1/a - 1/b, so gilt P({x})= 0, P(a, [mm] \infty [/mm] ) = 1 |
Hallo,
ich weiß bei dieser aufgabe nicht so recht wie ich Anfangen kann.
Bin die ganze Zeit am überlegen, ob ich das Kompliment bilden muss? aber irgendwie hilfts mir nicht...
Hat jemand ne Idee??
danke im Voraus
mfg
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Hiho,
also ich geb dir nen Tip für 1.), den Rest müsstest du mit der Idee alleine schaffen. Wenn nicht, nochmal melden 
Also: [mm] \alpha [/mm] Sigma-Algebra, die alle Intervalle der Form [mm](a,b), 1 \le a < b[/mm] enthält.
Insbesondere liegen alle Intervalle der Form [mm](a, b + \bruch{1}{k}), 1 \le a < b, k \in \IN[/mm]
Da [mm] \alpha [/mm] Sigma-Algebra, gilt:
[mm](a, b + \bruch{1}{k}) \in \alpha [/mm]
[mm]\Rightarrow \bigcap_{k=1}^{\infty}(a, b + \bruch{1}{k}) \in \alpha[/mm]
So ganz nebenbei gilt: [mm]\bigcap_{k=1}^{\infty}(a, b + \bruch{1}{k}) = (a,b][/mm]
Letztendlich läuft es also immer auf das Schema hinaus, wie du die Dinge als Vereinigung, Schnitt, Komplement von Bekannten Elementen aus [mm] \alpha [/mm] darstellen kannst.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Jan85 |
Hallo Gono
danke für dein tip. Ich hab mich wieder drangesetzt und was rausbekommen.
Könnst du mir vielleicht nochnen kleinen Denkanstoß zu den restlichen Aufgaben geben??
das wär nett...
liebe grüße
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Na dann zeig mal, was du schaffst und wo du hängst. Dann kann ich auch spezieller auf deine Fragen eingehen 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Jan85 |
stimmt den folgende aussage zu a?:
Wenn ich viele Mengen von der Gestalt (a, b + 1/k) schneide kommt das kleinste raus, das heißt das intervall ist linksseitig offen und rechtsseitig geschlossen, weil es sich von oben an b annähert
Mit dieser Behauptung könnt ic dann mit deiner der Def von dir den Teil a lösen...
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Jo,
also du hast jetzt ja nur das nochmal hingeschrieben hatte, was ich vorher schon gezeigt hab
Aber erstens besteht ja nicht nur aus (a,b]
Wie sieht es aus mit [a,b) und [a,b] ?
Zu 2. ne kleine Frage: Wie ist bei euch P((a,b]) definiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Jan85 |
also beim zweiten teil arbeite ich analog mit (a+1/k, b)
und beim dritten teil mit (a+1/k,b+1/m)
P steht für die Wahrscheinlichkeit, dass da sIntervall eintritt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hm, nicht a + [mm] \bruch{1}{k} [/mm] sondern a - [mm] \bruch{1}{k}...... [/mm] habt ihr schon gezeigt, daß in [mm] \IR [/mm] die Wahrscheinlichkeit einen Punkt zu treffen 0 ist, also dass allgemein gilt: P({x}) = 0?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Jan85 |
nein, aber das hängt damit zusammen, dass alle Zahlen in R dicht liegen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Naja, wieviele Zahlen gibt es und wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit eine davon zu treffen, wenn alle gleichwahrscheinlich sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Jan85 |
na unendlich viele und die Wahrscheinlichkeit ist dann 0
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