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Hallo, ich knobel schon seit Tagen an 2 Aufgaben zum Thema Sigma- Algebra herrum und weiß einfach nicht wie ich die lösen kann. Kann mir bitte jemand helfen?
Hier die Aufgaben:
1)
Zeigen Sie, dass der Durchschnitt beliebig vieler Sigma-Algebren über "den Ereignisraum" (Omega) wieder eine Sigma-Algebra ist.
2)
Sei "derEreignisraum"(Omega) eine nicht leere Menge. Wir definieren
[mm] \cal{A}:= [/mm] {A [mm] \subset [/mm] "Ereignisraum"(Omega);A ist abzählbar oder [mm] \overline{A} [/mm] ist abzählbar} .
Beweisen Sie, dass [mm] \cal{A} [/mm] eine Sigma-Algebra ist.
wäre über Hilfe wirklich total dankbar.
Schon mal Danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Hier die Aufgaben:
> 1)
> Zeigen Sie, dass der Durchschnitt beliebig vieler
> Sigma-Algebren über "den Ereignisraum" (Omega) wieder eine
> Sigma-Algebra ist.
Naja, das ist ja so simpel, dass ich dazu wohl nichts zu sagen brauche. Poste bitte mal deine Ansätze.
> 2)
> Sei "derEreignisraum"(Omega) eine nicht leere Menge. Wir
> definieren
> [mm]\cal{A}:=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{A [mm]\subset[/mm] "Ereignisraum"(Omega);A ist
> abzählbar oder [mm]\overline{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist abzählbar} .
> Beweisen Sie, dass [mm]\cal{A}[/mm] eine Sigma-Algebra ist.
Die leere Menge ist abzählbar. Die Sache mit dem Komplement gilt nach Definition.
Die einzige Schwierigkeit besteht darin zu zeigen, dass die abzählbare Vereinigung von Mengen [mm] $A_i$ [/mm] ($i [mm] \in \IN$) [/mm] aus [mm] ${\cal A}$ [/mm] wieder in [mm] ${\cal A}$ [/mm] liegt. Wenn alle diese Mengen abzählbar sind, dann auch ihre Vereinigung. Ist mindestens eine der Mengen [mm] $A_{i_0}$ [/mm] nicht abzählbar, dann aber [mm] $A_{i_0}^c$, [/mm] und es gilt:
[mm] $\left( \bigcup\limits_{i \in \IN} A_i\right)^c [/mm] = [mm] \bigcap\limits_{i \in \IN} A_i^c \subset A_{i_0}^c$,
[/mm]
womit auch [mm] $\left( \bigcup\limits_{i \in \IN} A_i\right)^c$ [/mm] abzählbar ist, d.h. es gilt: [mm] $\bigcup\limits_{i \in \IN} A_i \in {\cal A}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Di 01.11.2005 | | Autor: | juliet3108 |
hallo, Danke für deine Antwort, du hast mir schon sehr weiter geholfen!!!
Julia
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