Sigma-Algebra beweisen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Do 10.04.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie, dass folgende Mengen [mm] \sigma [/mm] -Algebren sind:
{A [mm] \subset \Omega [/mm] : A oder [mm] A^C [/mm] endlich} wobei
(i) [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IN
[/mm]
und
(ii) [mm] \Omega [/mm] = {1,2,...,1000}. |
Hallo!
Gegeben ist, dass eine Menge dann eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist, wenn:
a) [mm] \Omega \in \mathcal{F}
[/mm]
b) A [mm] \in \mathcal{F} \Rightarrow A^C [/mm] := [mm] \Omega \A \in \mathcal{F}
[/mm]
c) Für jede Folge [mm] (A_n)n \in \IN [/mm] mit [mm] A_n \in \mathcal{F} [/mm] gilt: [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}
[/mm]
Es ist eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra, wenn [mm] \Omega [/mm] abzählbar. Und es ist nur eine Algebra, wenn [mm] \Omega [/mm] eine endliche Menge ist.
Nun ist bekannt, dass [mm] \IN [/mm] abzählbar ist und {1,...,1000} endlich ist. Also ist i) eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra und ii) nicht.
Aber wie beweise ich das? Oder besser: Wie wende ich es auf a),b) und c) an?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Fr 11.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
untersuche bei (i), ob c) auch für die familie [mm] $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] mit [mm] $A_n [/mm] = [mm] \{2n - 1\}$ [/mm] erfüllt ist.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Nette20 |
Hi!
Ich hänge immer noch an dieser Aufgabe. Ich denke, dass sie im Grund recht einfach ist aber ich tu mich mit Beweisen immer unheimlich schwer.
Wie zeige ich denn a)? Das ist doch irgendwie logisch.
Da die kleinste sigma-Algebra { [mm] \emptyset, {\Omega} [/mm] } ist, muss [mm] \Omega [/mm] in [mm] \mathcal{F} [/mm] enthalten sein.
zu b) [mm] \IN [/mm] ist abzählbar unendlich. Da aber A oder [mm] A^C [/mm] endlich verlangt wird, würde doch stimmen: Wenn A nicht endlich, dann ich aber [mm] A^C [/mm] endlich und umgedreht.
zu c) zu zeigen [mm] A_n [/mm] = {2n-1}
vollständige Induktion:
n=1:
[mm] A_1 [/mm] = {1}
.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nette,
> Hi!
> Ich hänge immer noch an dieser Aufgabe. Ich denke, dass
> sie im Grund recht einfach ist aber ich tu mich mit
> Beweisen immer unheimlich schwer.
>
> Wie zeige ich denn a)? Das ist doch irgendwie logisch.
> Da die kleinste sigma-Algebra [mm] $\{\emptyset, \Omega\}$ [/mm] ist,
> muss [mm]\Omega[/mm] in [mm]\mathcal{F}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
enthalten sein.
was hat das mit Deiner Aufgabe zu tun?
Machen wir es mal Schritt für Schritt:
Bei a) ist zu untersuchen, ob $\mathcal{A}=\{A \subset \IN: A \mbox{ oder } A^c \mbox{ endlich }}\}$ eine Sigma-Algebra ist.
Zu "Sigma Teil a.)": $\IN=\Omega$ ist ein Element von $\mathcal{A}$. Es ist zwar sicher nicht $\IN$ endlich, aber dafür $\IN^c=\IN \setminus \IN=\emptyset$, also ist $\IN^c=\emptyset$ in trivialer Weise eine endliche Menge und damit gilt $\IN \in \mathcal{A}$.
Zu b.) Hier nimmst Du irgendeine Menge $A \in \mathcal{A}$ heraus. Dann ist auch $A^c \in \mathcal{A}$, denn:
Zu prüfen ist, ob $A^c$ oder $(A^c)^c$ endlich ist.
Da $A \in \mathcal{A}$ war, gilt aber eben, dass $A$ oder $A^c$ endlich ist, und Du sollst nun prüfen, ob dann auch gilt, dass $A^c$ oder $(A^c)^c$ endlich ist. Was ist denn $(A^c)^c$?
Zu c.) Hier hast Du nun zu prüfen, ob, wenn Du irgendeine Folge $(A_n)_{n \in \IN}$ aus $\mathcal{A}$ hernimmst, dann auch gilt, dass $\left(\bigcup_{n \in \IN} A_n\right) \in \mathcal{A}$ gilt.
Andreas hat Dir einen wunderbaren Tipp gegeben.
Betrachte $A_n:=\{2n-1\}$, d.h. $A_1=\{1\}$, $A_2=\{3\}$, $A_3=\{5\}$,...
Diese Mengen sind alle endlich (einelementig, um genau zu sein) und eine jede ist Teilmenge von $\IN$, es sind also Elemente von $\mathcal{A}$.
Wenn ich sie alle vereinige, also
$U:=\bigcup_{n \in \IN} A_n$
bilde, erhalte ich alle ungeraden natürlichen Zahlen. Jetzt ist zu prüfen, ob $U \in \mathcal{A}$ liegt, also:
Gilt, dass $U$ oder $G:=U^c=\IN \setminus U$ endlich ist?
Was ist denn $G:=U^c$?
P.S.:
Man könnte sogar, um "Sigma Teil c.)" zu widerlegen, auch andere Mengen hernehmen. Es ginge sogar, wenn man sagen würde:
Sei $A_n:=\{p: p \mbox{ Primzahl mit } p \le n\}$
Und wenn Du das verstanden hast, sollte es Dir wie Schuppen von den Augen fallen, wie leicht man hier "Sigma Teil c.)" widerlegen kann...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Nette20 |
Hi Marcel,
ohhhh nein! Vielen Dank! Jetzt ist der Groschen gefallen.
Ich werde meine Berechnungen auch für ii) später online stellen. Ich würde mich freuen, wenn Du die Zeit findest, um sie dann Korrektur zu lesen.
Vielen Dank!
LG
Janett
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
Ich bin gerade etwas irritiert.
Falls | [mm] \Omega [/mm] | = [mm] \infty [/mm] gilt, so ist [mm] \mathcal{A} [/mm] = {A [mm] \subset \Omega [/mm] : A oder [mm] A^C [/mm] endlich } eine Algebra, aber keine [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \IN [/mm] und der Betrag von [mm] \IN [/mm] ist doch unendlich.
hmmmmmmm.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
> Ich bin gerade etwas irritiert.
>
> Falls [mm]\Omega | = \infty[/mm] gilt, so ist [mm]\mathcal{A} = \{A
\subset \Omega : A \mbox{ oder \ A^C \mbox{ endlich }\}[/mm] eine Algebra, aber
> keine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
>
> [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IN[/mm] und der Betrag von [mm]\IN[/mm] ist doch unendlich.
>
> hmmmmmmm.
was irritiert Dich daran? [mm] $|\IN|=\infty$, [/mm] also sollte, sofern dieser Satz stimmt, hier herauskommen, dass bei Teil a) das Mengensystem [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] zwar eine Algebra, aber keine Sigma-Algebra ist. Ich schreibe Dir gerade oben, warum es keine Sigma-Algebra sein kann.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Blech |
> Gegeben ist, dass eine Menge dann eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra
Nenne es lieber Mengensystem. Wir haben eine Menge von Mengen.
> ist, wenn:
> a) [mm]\Omega \in \mathcal{F}[/mm]
> b) A [mm]\in \mathcal{F} \Rightarrow A^C[/mm]
> := [mm]\Omega \A \in \mathcal{F}[/mm]
> c) Für jede Folge [mm](A_n)_{n \in \IN}[/mm]
> mit [mm]A_n \in \mathcal{F}[/mm] gilt: [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{F}[/mm]
>
> Es ist eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra, wenn [mm]\Omega[/mm] abzählbar. Und es
> ist nur eine Algebra, wenn [mm]\Omega[/mm] eine endliche Menge ist.
>
Es ist eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] wenn c) gilt. Es ist eine Algebra, wenn anstatt c)
c') Für jede Folge [mm](A_n)_{n \in \IN}[/mm] mit [mm]A_n \in \mathcal{F}[/mm] gilt: [mm]\bigcup_{i=1}^{k} A_n \in \mathcal{F}[/mm] [mm] $\forall k\in\IN$
[/mm]
gilt. D.h. anstatt abzählbaren Vereinigungen dürfen wir nur endliche Vereinigungen benutzen.
[mm] $\bigcup_{i=1}^{\infty}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}] [/mm] = (0,1)$, d.h. ein offenes Intervall,
[mm] $\bigcup_{i=1}^{k}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]=[\frac{1}{k},1-\frac{1}{k}]$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] d.h. ein geschlossenes Intervall.
Die Endlichkeit von [mm] $\Omega$ [/mm] ist für die Definition unerheblich (es folgt aber, daß für endliches [mm] $\Omega$ [/mm] jede Algebra auch eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist)
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