Sigma-Algebra = P(X) < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Fr 19.04.2019 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | | Sei X abzählbar und [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] welche Punkte in X trennt, d.h. für beliebige [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X, [mm] x_1 \not= x_2, [/mm] existiert eine Menge A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit [mm] x_1 \in [/mm] A, [mm] x_2 \not\in [/mm] A. Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{A}=P(X) [/mm] gilt. |
Hallo,
ich möchte Ideen/Verbesserungsvorschläge einholen zu der Aufgabe.
Meine bisherigen "niederen" Gedankengänge sind:
Da [mm] x_1 \in [/mm] A, [mm] x_2 \not\in [/mm] A aber beide in X liegen und A [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] muss [mm] x_2 \in A^c [/mm] sein.
[mm] \mathcal{A} [/mm] besteht also aus [mm] \{\emptyset, A, A^c, \{A, A^C\}\} [/mm] mit
X = [mm] \{A, A^c\}.
[/mm]
Damit ist [mm] \mathcal{A}=P(X).
[/mm]
Da mir diese Lösung allerdings als zu einfach und zu wenig durchdacht erscheint, frage ich nach.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Fr 19.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Sei X abzählbar und [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra,[/mm]
> welche Punkte in X trennt, d.h. für beliebige [mm]x_1,x_2 \in[/mm]
> X, [mm]x_1 \not= x_2,[/mm] existiert eine Menge A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]x_1 \in[/mm] A, [mm]x_2 \not\in[/mm] A. Zeigen Sie, dass
> [mm]\mathcal{A}=P(X)[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> ich möchte Ideen/Verbesserungsvorschläge einholen zu der
> Aufgabe.
>
> Meine bisherigen "niederen" Gedankengänge sind:
>
> Da [mm]x_1 \in[/mm] A, [mm]x_2 \not\in[/mm] A aber beide in X liegen und A
> [mm]\in \mathcal{A},[/mm] muss [mm]x_2 \in A^c[/mm] sein.
Das ist doch trivial. Wenn [mm] x_2 [/mm] nicht in A liegt, so liegt [mm] x_2 [/mm] im Komplement von A. Definition des Komplements !
> [mm]\mathcal{A}[/mm] besteht also aus [mm]\{\emptyset, A, A^c, \{A, A^C\}\}[/mm]
Mit Verlaub, das ist Unsinn ( und nicht nachzuvollziehen ).
> mit
> X = [mm]\{A, A^c\}.[/mm]
Wie kommst Du denn darauf?
> Damit ist [mm]\mathcal{A}=P(X).[/mm]
Es wird immer abenteuerlicher. Deine Gedanken sind nicht nachvollziehbar.
>
> Da mir diese Lösung allerdings als zu einfach und zu wenig
> durchdacht erscheint, frage ich nach.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Was sage ich meinen Studenten immer? Das: will man etwas beweisen und verwendet nicht alle Voraussetzungen, so wirds nix mit dem Beweis.
In obiger Aufgabe ist X abzählbar. Verwende das!
Versuche zu zeigen: jede einelementige Teilmenge von X gehört zur Sigma-Algebra.
Dann bist Du fertig. Warum?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 19.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Das fehlerhafte Beweisen entsteht oftmals durch mangelndes Wissen, wie der Beweis überhaupt geführt wird.
Da heute ein Feiertag ist, wäre es sehr nett, wenn der Hinweis noch ein klein wenig präziser, einleitender sein könnte, damit ich es als einfacher Student
besser verstehen kann. Aktuell ist mir noch nicht vollkommen klar, was gemacht werden soll..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Fr 19.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Das fehlerhafte Beweisen entsteht oftmals durch mangelndes
> Wissen, wie der Beweis überhaupt geführt wird.
>
> Da heute ein Feiertag ist, wäre es sehr nett, wenn der
> Hinweis noch ein klein wenig präziser, einleitender sein
> könnte, damit ich es als einfacher Student
> besser verstehen kann. Aktuell ist mir noch nicht
> vollkommen klar, was gemacht werden soll..
Wir nehmen uns mal ein x [mm] \in [/mm] X her und definieren:
$D(x):= [mm] \bigcap_{A \in \mathcal{A}, x \in A}A$. [/mm] Dann ist natürlich x [mm] \in [/mm] D(x).
Zeige nun Du, dass [mm] $D(x)=\{x\}$ [/mm] ist. Dazu verwende, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] punktetrennend ist.
Wenn wir nun noch zeigen können, dass D(x) abzählbarer Durchschnitt von Mengen aus [mm] \mathcal{A} [/mm] ist, sind wir fertig. Verwende dazu, dass X abzählbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Sa 20.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Danke für den Hinweis, ich werde es mir bei Zeit nochmal genauer anschauen.
Mir ist nun ie Richtung des ganzen Beweises klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 So 21.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Ist meine Annahme richtig, dass es sich hierbei um einen Hausdorff-Raum handelt, bzw der Beweis damit in Verbindung steht?
Und das [mm] D(x)=\{x\} [/mm] eine Umgebung darstellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 So 21.04.2019 | | Autor: | fred97 |
> Ist meine Annahme richtig, dass es sich hierbei um einen
> Hausdorff-Raum handelt, bzw der Beweis damit in Verbindung
> steht?
Nein, mit Topologie hat das nix zu tun.
>
> Und das [mm]D(x)=\{x\}[/mm] eine Umgebung darstellt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 So 21.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Eine letzte Frage:
Ist mein Verständnis richtig, dass gezeigt werden soll, dass in [mm] \mathcal{A}
[/mm]
jede einelementige Teilmengen vorhanden sind, da deswegen aufgrund der Beschaffenheit der Sigma-Algebra auch die Komplemente jeder Teilmenge vorhanden sein müssen, wodurch die Potenzmenge entsteht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 So 21.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Die Frage ist im Grunde überflüssig.
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Hiho,
> Ist mein Verständnis richtig, dass gezeigt werden soll,
> dass in [mm]\mathcal{A}[/mm]
> jede einelementige Teilmengen vorhanden sind, da deswegen
> aufgrund der Beschaffenheit der Sigma-Algebra auch die
> Komplemente jeder Teilmenge vorhanden sein müssen, wodurch
> die Potenzmenge entsteht?
nein.
Weil bei einer abzaehlbaren Menge jede Teilmenge ebenfalls abzaehlbar ist. Damit ist jede Teilmenge als abzaehlbare Vereinigung von einelementigen Teilmengen automatisch in der Sigma-Algebra, falls die einelementigen Teilmengen zu dieser gehoeren.
In Formeln: $A = [mm] \bigcup_{x \in A} \{x\}$
[/mm]
Das funktioniert nicht mehr fuer bswp [mm] $\IR$.
[/mm]
Natuerlich gilt $[0,1] = [mm] \bigcup_{x \in [0,1]} \{x\}$ [/mm] aber die Vereinigung ist nicht mehr abzaehlbar.
Gruss,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 So 21.04.2019 | | Autor: | TS85 |
Ok, der Grund ist ein anderer, aber trotzdem ähnlich.
Abzählbarkeit und dergleichen sollte ich mir nochmal genauer anschauen.
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