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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Sa 20.04.2013 | | Autor: | gpw |
| Aufgabe | Definition [mm] \sigma [/mm] - Algebra:
i) [mm] \Omega \in [/mm] M
ii) A [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow A^{c} \in [/mm] M
iii) [mm] A_{1}, A_{2}, \ldots \in [/mm] M [mm] \Rightarrow \bigcup_{n\in\IN}^{} A_{n} \in [/mm] M |
Hallo zusammen,
ich habe eine Verständnisfrage zu obiger der Definition der [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
Wenn (i) und (ii) gelte, folgt daraus nicht automatisch (iii)?
Meine Überlegung ist, wenn die Grundmenge, die leere Menge, n-beliebige Teilmengen sowie deren Komplemente enthalten sind ist die Vereinigung aller Teilmengen doch /Omega und das muss laut (i) sowieso enthalten sein.
Kann mir jemand meinen evtl. Denkfehler zeigen oder folgt aus (i) & (ii) tatsächlich (iii)?
Viele Grüße,
gpw
//Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Definition [mm]\sigma[/mm] - Algebra:
> i) [mm]\Omega \in[/mm] M
>
> ii) A [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow A^{c} \in[/mm] M
>
> iii) [mm]A_%7B1%7D%2C%20A_%7B2%7D%2C%20%5Cldots%20%5Cin[/mm] M [mm]\Rightarrow \bigcup_{n\in\IN}^{} A_{n} \in[/mm]
> M
> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine Verständnisfrage zu obiger der Definition
> der [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
>
> Wenn (i) und (ii) gelte, folgt daraus nicht automatisch
> (iii)?
Nein.
> Meine Überlegung ist, wenn die Grundmenge, die leere
> Menge, n-beliebige Teilmengen sowie deren Komplemente
> enthalten sind ist die Vereinigung aller Teilmengen doch
> /Omega und das muss laut (i) sowieso enthalten sein.
Der Fehler in der Argumentation ist, dass
Die Vereinigung dieser Teilmengen nicht [mm] $\Omega$ [/mm] ist.
Beispiel:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IN$, [/mm] $M = [mm] P(\IN)$ [/mm] (Potenzmenge von [mm] $\IN$, [/mm] d.h. alle Teilmengen von [mm] $\IN$)
[/mm]
[mm] $A_n [/mm] = [mm] \{2n\}$
[/mm]
Dann ist doch [mm] $\bigcup_{n\in\IN}A_n [/mm] = [mm] \{\mbox{gerade Zahlen}\} \not= \IN$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Sa 20.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin gpw,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Kann mir jemand meinen evtl. Denkfehler zeigen oder folgt
> aus (i) & (ii) tatsächlich (iii)?
> Viele Grüße,
> gpw
>
Setze $\Omega=\{1,2,3\}$ und $M=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$. Dann ist (i) und (ii) erfuellt, jedoch gilt fuer $\{1\},\{2\}\in M$ nicht $\{1\}\cup\{2\}=\{1,2\}\in M$.
vg Luis
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