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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Di 25.10.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] eine beliebige nichtleere Menge und [mm] \mathcal{A} [/mm] dasa System aller Mengen A [mm] \subset \Omega [/mm] , für welche A oder [mm] \overline{A}=\Omega [/mm] \ A abzählbar ist.
Zeigen Sie: [mm] \mathcal{A} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra. [/mm] |
Hallo! Bräuchte eine Hilfestellung bzw. Korretur bei der Aufgabe.
Es ist [mm] \Omega=\{ \emptyset, a_{1}, a_{2}, a_{3},...\} [/mm] und [mm] \mathcal{A}=\{ A_1, A_2, A_3,... \}.
[/mm]
Zu -allen- abzählbaren Mengen gehören ja auch gerade jene abzählbare Mengen mit nur einem Element.
Für jedes [mm] a_j [/mm] aus [mm] \Omega [/mm] gibt es ja dann ein gewisses [mm] A_i [/mm] mit [mm] A_i=\{a_j\}.
[/mm]
Damit ist folglich [mm] a_j \in \Omega \wedge a_j \in \mathcal{A} [/mm] für alle [mm] a_j.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \Omega \in \mathcal{A}. \Box
[/mm]
Wie sinvoll ist mein Ergebnis? Habe ich etwas übersehen?
Vielen Dank! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Di 25.10.2011 | | Autor: | chesn |
Achso sorry... ist ja nur der erste Schritt, bei dem ich zeigen muss [mm] \Omega \in \mathcal{A} [/mm] . ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine beliebige nichtleere Menge und [mm]\mathcal{A}[/mm]
> dasa System aller Mengen A [mm]\subset \Omega[/mm] , für welche A
> oder [mm]\overline{A}=\Omega[/mm] \ A abzählbar ist.
> Zeigen Sie: [mm]\mathcal{A}[/mm] ist eine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
> Hallo! Bräuchte eine Hilfestellung bzw. Korretur bei der
> Aufgabe.
>
> Es ist [mm]\Omega=\{ \emptyset, a_{1}, a_{2}, a_{3},...\}[/mm]
Das ist Unsinn ! Wie kommst Du auf eine solche Darstellung von [mm] \Omega [/mm] ???
Es könnte z.B. sein: [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR.
[/mm]
> und
> [mm]\mathcal{A}=\{ A_1, A_2, A_3,... \}.[/mm]
Auch das ist Murks ! Wer sagt denn, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] abzählbar ist ???
>
> Zu -allen- abzählbaren Mengen gehören ja auch gerade jene
> abzählbare Mengen mit nur einem Element.
>
> Für jedes [mm]a_j[/mm] aus [mm]\Omega[/mm] gibt es ja dann ein gewisses [mm]A_i[/mm]
> mit [mm]A_i=\{a_j\}.[/mm]
Quatsch !
>
> Damit ist folglich [mm]a_j \in \Omega \wedge a_j \in \mathcal{A}[/mm]
> für alle [mm]a_j.[/mm]
Unsinn !
>
> [mm]\Rightarrow \Omega \in \mathcal{A}. \Box[/mm]
>
> Wie sinvoll ist mein Ergebnis?
Nein
> Habe ich etwas übersehen?
Du willst also zeigen, dass [mm] \Omega \in \mathcal{A} [/mm] ist. Es ist [mm] \overline{\Omega}= \Omega \setminus \Omega [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Vielen Dank! :)
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Di 25.10.2011 | | Autor: | chesn |
Danke! War dumm, ist jetzt klar. Also nochmal:
[mm] \Omega \in \mathcal{A} [/mm] ist zu zeigen:
Mit [mm] A=\Omega [/mm] ist das Komplement [mm] \overline{A} [/mm] wie gefordert abzählbar:
[mm] \overline{\Omega}=\Omega [/mm] \ [mm] \Omega=\emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow \Omega \in \mathcal{A}
[/mm]
Weiter zz: A [mm] \subset \mathcal{A} \Rightarrow \overline{A}=\Omega [/mm] \ A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Es ist A [mm] \subset \mathcal{A} [/mm] . Also A abzählbar.
Nun gilt: [mm] \overline{ (\overline{A}) }=\Omega [/mm] \ [mm] (\overline{A})=\Omega [/mm] \ [mm] (\Omega [/mm] \ A)=A (also abzählbar) [mm] \Rightarrow \overline{A} \in \mathcal{A} [/mm] gezeigt.
Ok bis hier?
Beim letzten Punkt komme ich auf nichts vernünftiges:
zz: [mm] (A_n)_{n\in\IN} \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}A_n \in \mathcal{A}
[/mm]
Dass die Vereinigung aller [mm] A_n [/mm] auch in [mm] \mathcal{A} [/mm] liegt ist klar, nur wie zeige ich das?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke! War dumm, ist jetzt klar. Also nochmal:
>
> [mm]\Omega \in \mathcal{A}[/mm] ist zu zeigen:
>
> Mit [mm]A=\Omega[/mm] ist das Komplement [mm]\overline{A}[/mm] wie gefordert
> abzählbar:
> [mm]\overline{\Omega}=\Omega[/mm] \ [mm]\Omega=\emptyset[/mm]
> [mm]\Rightarrow \Omega \in \mathcal{A}[/mm]
>
> Weiter zz: A [mm]\subset \mathcal{A} \Rightarrow \overline{A}=\Omega[/mm]
> \ A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
Nein. Z.z.: A [mm]\in \mathcal{A} \Rightarrow \overline{A}=\Omega[/mm] \ A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
>
> Es ist A [mm]\subset \mathcal{A}[/mm] .
Nein. Sei A [mm] \in \mathcal{A}[/mm]
> Also A abzählbar.
Wieso ? Ist A [mm] \in \mathcal{A}[/mm], so ist A abzählbar oder [mm] \overline{A} [/mm] abzählbar.
Unterscheide also dies beiden Fälle.
>
> Nun gilt: [mm]\overline{ (\overline{A}) }=\Omega[/mm] \
> [mm](\overline{A})=\Omega[/mm] \ [mm](\Omega[/mm] \ A)=A (also abzählbar)
> [mm]\Rightarrow \overline{A} \in \mathcal{A}[/mm] gezeigt.
Damit hast Du nur den ersten Fall erledigt.
>
> Ok bis hier?
S.o.
>
> Beim letzten Punkt komme ich auf nichts vernünftiges:
>
> zz: [mm](A_n)_{n\in\IN} \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}A_n \in \mathcal{A}[/mm]
Die Schreibweise [mm] (A_n)_{n\in\IN} \in \mathcal{A} [/mm] gefällt mir nicht. Desweiteren lautet es
[mm] \bigcup_{n=1}^{ \infty}A_n
[/mm]
Besser: sei [mm] (A_n) [/mm] eine Folge von Mengen aus [mm] \mathcal{A} [/mm] .....
>
> Dass die Vereinigung aller [mm]A_n[/mm] auch in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegt
> ist klar, nur wie zeige ich das?
Komisch, wenns Dir klar ist, dann müßte doch der Beweis kein Problem für Dich sein !
Auch hier mußt Du 2 Fälle unterscheiden:
Fall 1: alle [mm] A_n [/mm] sind abzählbar. Dann ist [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] was ?
Fall 2: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] A_m [/mm] ist nicht abzählbar. Dann ist [mm] \overline{A_m} [/mm] was ?
Und damit ist [mm] \overline{\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n} [/mm] was ?
FRED
>
> Vielen Dank schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 25.10.2011 | | Autor: | chesn |
Vielen Dank! Denke jetzt dürfte alles klar sein..
Sind alle [mm] A_n [/mm] abzählbar, ist die Vereinigung ebenfalls abzählbar.
Gibt es ein [mm] A_m [/mm] das nicht abzählbar ist, ist [mm] \overline{A_m} [/mm] abzählbar und damit ist auch das Komplement der Vereinigung abzählbar, also in [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
Danke!
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