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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:49 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR [/mm] linear und positiv, d.h.
[mm] f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
Sei [mm] \mu_{\alpha} [/mm] das von [mm] \alpha [/mm] erzeugte äußere Radonmaß und [mm] \Sigma_{\alpha} [/mm] die [mm] \sigma-Algebra [/mm] der [mm] \mu_{\alpha} [/mm] messbaren Mengen.
Zeigen Sie:
a) [mm] \Sigma^{\*}=[/mm] [mm] \{M\subset [-L,L] | M [/mm] x [mm] [-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
b) [mm] \nu(f,A)=\integral{f(y)\mathcal{X}_A(x)d\mu_{\alpha}} [/mm] ist eine Abbildung
[mm] C^0(-L,L) [/mm] x [mm] \Sigma^{\*}\mapsto\IR [/mm] und erfüllt
1) [mm] \nu(.,A) [/mm] ist linear und positiv [mm] \forall A\in\Sigma^{\*}.
[/mm]
2) [mm] \nu(f,.) [/mm] ist ein Maß auf [mm] \Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0. [/mm] |
Hallo,
ich hab mal wieder das Problem, dass ich mit meinen gegebenen Dingen schon nicht viel anfangen kann.
Was soll denn [mm] C^0([-L,L]^2) [/mm] bedeuteten?
Und dann zu a): Ich weiß ja welchen Eigenschaften gelten müssen, damit eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] vorliegt (![[]](/images/popup.gif) Definition Wikipedia). Aber ich hab keine Ahnung wie ich das hier zeigen kann, weil ich nicht genau weiß, was [mm] \Sigma^{\*} [/mm] genau ist.
Wäre dankbar für ein paar Erklärungen..
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR[/mm] linear und positiv,
> d.h.
> [mm]f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
>
> Sei [mm]\mu_{\alpha}[/mm] das von [mm]\alpha[/mm] erzeugte äußere Radonmaß
> und [mm]\Sigma_{\alpha}[/mm] die [mm]\sigma-Algebra[/mm] der [mm]\mu_{\alpha}[/mm]
> messbaren Mengen.
> Zeigen Sie:
> a) [mm]\Sigma^{\*}=[/mm] [mm]\{M\subset [-L,L] | M[/mm] x [mm][-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\}[/mm]
> ist eine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
> b) [mm]\nu(f,A)=\integral{f(y)\mathcal{X}_A(x)d\mu_{\alpha}}[/mm]
> ist eine Abbildung
> [mm]C^0(-L,L)[/mm] x [mm]\Sigma^{\*}\mapsto\IR[/mm] und erfüllt
> 1) [mm]\nu(.,A)[/mm] ist linear und positiv [mm]\forall A\in\Sigma^{\*}.[/mm]
>
> 2) [mm]\nu(f,.)[/mm] ist ein Maß auf [mm]\Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0.[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich hab mal wieder das Problem, dass ich mit meinen
> gegebenen Dingen schon nicht viel anfangen kann.
>
> Was soll denn [mm]C^0([-L,L]^2)[/mm] bedeuteten?
die Menge der stetigen Funktionen auf [mm] [-L,L]^2
[/mm]
> Und dann zu a): Ich weiß ja welchen Eigenschaften gelten
> müssen, damit eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] vorliegt
> (Definition Wikipedia).
> Aber ich hab keine Ahnung wie ich das hier zeigen kann,
> weil ich nicht genau weiß, was [mm]\Sigma^{\*}[/mm] genau ist.
komisch ... das steht doch klar und deutlich da:
$ [mm] \Sigma^{\star}= \{M\subset [-L,L] | M \times [-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\} [/mm] $
Was ist daran unklar ?
FRED
>
> Wäre dankbar für ein paar Erklärungen..
>
> Viele Grüße
> Kayle
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Kayle |
> > Sei [mm]\alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR[/mm] linear und positiv,
> > d.h.
> > [mm]f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
>
> >
> > Sei [mm]\mu_{\alpha}[/mm] das von [mm]\alpha[/mm] erzeugte äußere Radonmaß
> > und [mm]\Sigma_{\alpha}[/mm] die [mm]\sigma-Algebra[/mm] der [mm]\mu_{\alpha}[/mm]
> > messbaren Mengen.
> > Zeigen Sie:
> > a) [mm]\Sigma^{\*}=[/mm] [mm]\{M\subset [-L,L] | M[/mm] x [mm][-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\}[/mm]
> > ist eine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
> > b)
> [mm]\nu(f,A)=\integral{f(y)\mathcal{X}_A(x)d\mu_{\alpha}}[/mm]
> > ist eine Abbildung
> > [mm]C^0(-L,L)[/mm] x [mm]\Sigma^{\*}\mapsto\IR[/mm] und erfüllt
> > 1) [mm]\nu(.,A)[/mm] ist linear und positiv [mm]\forall A\in\Sigma^{\*}.[/mm]
>
> >
> > 2) [mm]\nu(f,.)[/mm] ist ein Maß auf [mm]\Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0.[/mm]
>
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > ich hab mal wieder das Problem, dass ich mit meinen
> > gegebenen Dingen schon nicht viel anfangen kann.
> >
> > Was soll denn [mm]C^0([-L,L]^2)[/mm] bedeuteten?
>
> die Menge der stetigen Funktionen auf [mm][-L,L]^2[/mm]
Danke!
>
> > Und dann zu a): Ich weiß ja welchen Eigenschaften gelten
> > müssen, damit eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] vorliegt
> > (Definition Wikipedia).
> > Aber ich hab keine Ahnung wie ich das hier zeigen kann,
> > weil ich nicht genau weiß, was [mm]\Sigma^{\*}[/mm] genau ist.
>
>
> komisch ... das steht doch klar und deutlich da:
>
> [mm]\Sigma^{\star}= \{M\subset [-L,L] | M \times [-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\}[/mm]
>
> Was ist daran unklar ?
[mm] M\subset [/mm] [-L,L] das bedeutet also, M ist eine echte Teilmenge in [-L,L]. M [mm] \times [/mm] [-L,L] [mm] \in \Sigma_{\alpha}\ [/mm] sollte das kartesische Produkt sein?
Aber wie zeige ich denn jetzt das M eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist? Ich weiß einfach nicht, wie ich hier anfangen soll.
Gruß
Kayle
> FRED
> >
> > Wäre dankbar für ein paar Erklärungen..
> >
> > Viele Grüße
> > Kayle
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]\alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR[/mm] linear und positiv,
> > > d.h.
> > > [mm]f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
>
> >
> > >
> > > Sei [mm]\mu_{\alpha}[/mm] das von [mm]\alpha[/mm] erzeugte äußere Radonmaß
> > > und [mm]\Sigma_{\alpha}[/mm] die [mm]\sigma-Algebra[/mm] der [mm]\mu_{\alpha}[/mm]
> > > messbaren Mengen.
> > > Zeigen Sie:
> > > a) [mm]\Sigma^{\*}=[/mm] [mm]\{M\subset [-L,L] | M[/mm] x [mm][-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\}[/mm]
> > > ist eine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
> > > b)
> > [mm]\nu(f,A)=\integral{f(y)\mathcal{X}_A(x)d\mu_{\alpha}}[/mm]
> > > ist eine Abbildung
> > > [mm]C^0(-L,L)[/mm] x [mm]\Sigma^{\*}\mapsto\IR[/mm] und erfüllt
> > > 1) [mm]\nu(.,A)[/mm] ist linear und positiv [mm]\forall A\in\Sigma^{\*}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > 2) [mm]\nu(f,.)[/mm] ist ein Maß auf [mm]\Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0.[/mm]
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> > > Hallo,
> > >
> > > ich hab mal wieder das Problem, dass ich mit meinen
> > > gegebenen Dingen schon nicht viel anfangen kann.
> > >
> > > Was soll denn [mm]C^0([-L,L]^2)[/mm] bedeuteten?
> >
> > die Menge der stetigen Funktionen auf [mm][-L,L]^2[/mm]
>
> Danke!
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> >
> > > Und dann zu a): Ich weiß ja welchen Eigenschaften gelten
> > > müssen, damit eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] vorliegt
> > > (Definition Wikipedia).
> > > Aber ich hab keine Ahnung wie ich das hier zeigen kann,
> > > weil ich nicht genau weiß, was [mm]\Sigma^{\*}[/mm] genau ist.
> >
> >
> > komisch ... das steht doch klar und deutlich da:
> >
> > [mm]\Sigma^{\star}= \{M\subset [-L,L] | M \times [-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\}[/mm]
>
> >
> > Was ist daran unklar ?
>
> [mm]M\subset[/mm] [-L,L] das bedeutet also, M ist eine echte
> Teilmenge in [-L,L].
Nein. M darf auch = [-L,L]. Sonst bekommst Du nie eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
> M [mm]\times[/mm] [-L,L] [mm]\in \Sigma_{\alpha}\[/mm]
> sollte das kartesische Produkt sein?
M [mm]\times[/mm] [-L,L] ist das kart. Produkt.
> Aber wie zeige ich denn jetzt das M eine [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> ist?
Wieso M . ??? Du sollst zeigen : [mm] \Sigma^{\star} [/mm] ist eine solche !
> Ich weiß einfach nicht, wie ich hier anfangen soll.
Ẃas ist denn die Def. einer [mm] \sigma [/mm] - Algebra ?
FRED
>
> Gruß
> Kayle
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> > FRED
> > >
> > > Wäre dankbar für ein paar Erklärungen..
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Kayle
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:02 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Kayle |
> > > > Sei [mm]\alpha:C^0([-L,L]^2)\mapsto\IR[/mm] linear und positiv,
> > > > d.h.
> > > > [mm]f(x,y)>0 \forall|x|\le L, |y|\le L \Rightarrow \alpha(f)\ge 0 [/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Sei [mm]\mu_{\alpha}[/mm] das von [mm]\alpha[/mm] erzeugte äußere Radonmaß
> > > > und [mm]\Sigma_{\alpha}[/mm] die [mm]\sigma-Algebra[/mm] der [mm]\mu_{\alpha}[/mm]
> > > > messbaren Mengen.
> > > > Zeigen Sie:
> > > > a) [mm]\Sigma^{\*}=[/mm] [mm]\{M\subset [-L,L] | M[/mm] x [mm][-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\}[/mm]
> > > > ist eine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
> > > > b)
> > > [mm]\nu(f,A)=\integral{f(y)\mathcal{X}_A(x)d\mu_{\alpha}}[/mm]
> > > > ist eine Abbildung
> > > > [mm]C^0(-L,L)[/mm] x [mm]\Sigma^{\*}\mapsto\IR[/mm] und erfüllt
> > > > 1) [mm]\nu(.,A)[/mm] ist linear und positiv [mm]\forall A\in\Sigma^{\*}.[/mm]
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> > >
> > > >
> > > > 2) [mm]\nu(f,.)[/mm] ist ein Maß auf [mm]\Sigma^{\*}, \forall f\in C^0([-L,L]), f\ge0.[/mm]
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> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich hab mal wieder das Problem, dass ich mit meinen
> > > > gegebenen Dingen schon nicht viel anfangen kann.
> > > >
> > > > Was soll denn [mm]C^0([-L,L]^2)[/mm] bedeuteten?
> > >
> > > die Menge der stetigen Funktionen auf [mm][-L,L]^2[/mm]
> >
> > Danke!
> >
> > >
> > > > Und dann zu a): Ich weiß ja welchen Eigenschaften gelten
> > > > müssen, damit eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] vorliegt
> > > > (Definition Wikipedia).
> > > > Aber ich hab keine Ahnung wie ich das hier zeigen kann,
> > > > weil ich nicht genau weiß, was [mm]\Sigma^{\*}[/mm] genau ist.
> > >
> > >
> > > komisch ... das steht doch klar und deutlich da:
> > >
> > > [mm]\Sigma^{\star}= \{M\subset [-L,L] | M \times [-L,L] \in \Sigma_{\alpha}\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Was ist daran unklar ?
> >
> > [mm]M\subset[/mm] [-L,L] das bedeutet also, M ist eine echte
> > Teilmenge in [-L,L].
>
> Nein. M darf auch = [-L,L]. Sonst bekommst Du nie eine
> [mm]\sigma[/mm] - Algebra.
Okay.
>
> > M [mm]\times[/mm] [-L,L] [mm]\in \Sigma_{\alpha}\[/mm]
> > sollte das kartesische Produkt sein?
>
> M [mm]\times[/mm] [-L,L] ist das kart. Produkt.
>
>
> > Aber wie zeige ich denn jetzt das M eine [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> > ist?
>
>
> Wieso M . ??? Du sollst zeigen : [mm]\Sigma^{\star}[/mm] ist eine
> solche !
>
Oh, natürlich, meinte ich eigentlich auch.
>
> > Ich weiß einfach nicht, wie ich hier anfangen soll.
>
>
> Ẃas ist denn die Def. einer [mm]\sigma[/mm] - Algebra ?
>
Also es müssen ja folgende 3 Eigenschaften gelten:
Mengensystem [mm] \mathcal{A}, [/mm] mit [mm] \mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)(\mathcal{P} [/mm] Potenzmenge)
i) [mm] \Omega\in\mathcal{A} [/mm] (also Grundmenge [mm] \Omega [/mm] ist enthalten in [mm] \mathcal{A})
[/mm]
ii) [mm] A\in\mathcal{A}\Rightarrow A^c\in\mathcal{A}
[/mm]
iii) [mm] A_1,A_2,..\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A}
[/mm]
Das müsste jetzt also für mein [mm] \Sigma^{\*} [/mm] gelten, aber wie zeige ich das hier? Ich weiß es leider wirklich nicht.
Gruß Kayle
> FRED
> >
> > Gruß
> > Kayle
> >
> > > FRED
> > > >
> > > > Wäre dankbar für ein paar Erklärungen..
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > > > Kayle
> > >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 So 12.12.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
kann mir vielleicht noch Jemand weiterhelfen? Hänge immer noch an dem Problem, dass ich hier nicht genau, wie ich die Eigenschaften einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] zeigen soll...
Gruß
Kayle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 14.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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