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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, U,V,W,X K-Vektorräume und f [mm] \in Hom_{K}(U,V), [/mm] g [mm] \in Hom_{K}(V,W). [/mm] Angenommen 0 [mm] \rightarrow [/mm] U [mm] \stackrel{f}{\rightarrow} V\stackrel{g}{\rightarrow} W\rightarrow [/mm] 0 ist eine exakte Sequenz von K-Vektorräumen.
Man beweise, dass die Sequenz
0 [mm] \rightarrow [/mm] U [mm] \otimes [/mm] X [mm] \stackrel{f \otimes id_{x}}{\rightarrow} [/mm] V [mm] \otimes X\stackrel{g \otimes id_{x}}{\rightarrow} [/mm] W [mm] \otimes X\rightarrow [/mm] 0 exakt ist. |
Hallo zusammen,
Ich muss also drei Sachen zeigen:
1. ker( f [mm] \otimes id_{x})=U \otimes [/mm] X
2. ker (g [mm] \otimes id_{x})=Bild(f \otimes id_{x})
[/mm]
3. W [mm] \otimes [/mm] X=Bild(g [mm] \otimes id_{x}).
[/mm]
Das dritte habe ich schon gezeigt, bei den ersten beiden habe ich aber Probleme.
Da ich keine andere hatte, habe ich mir überlegt das mit Teilmengen zu zeigen.ker( f [mm] \otimes id_{x}) \subset [/mm] U [mm] \otimes [/mm] X gilt nach Konstruktion.
Bleibt also noch zz: U [mm] \otimes [/mm] X [mm] \subset [/mm] ker( f [mm] \otimes id_{x}).
[/mm]
D.h. ich muss zeigen: f [mm] \otimes id_{x}(u \otimes [/mm] x)=0. Es ist f(u) [mm] \otimes id_{x}(x)=f(u) \otimes [/mm] x=ker(g) [mm] \otimes [/mm] x.
Ab hier komme ich nicht mehr weiter.
zu 2: f [mm] \otimes id_{x}(v \otimes [/mm] x)=f(v) [mm] \otimes id_{x}(x)=ker(g) \otimes [/mm] x.
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 So 12.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien K ein Körper, U,V,W,X K-Vektorräume und f [mm]\in Hom_{K}(U,V),[/mm]
> g [mm]\in Hom_{K}(V,W).[/mm] Angenommen 0 [mm]\rightarrow[/mm] U
> [mm]\stackrel{f}{\rightarrow} V\stackrel{g}{\rightarrow} W\rightarrow[/mm]
> 0 ist eine exakte Sequenz von K-Vektorräumen.
>
> Man beweise, dass die Sequenz
>
> 0 [mm]\rightarrow[/mm] U [mm]\otimes[/mm] X [mm]\stackrel{f \otimes id_{x}}{\rightarrow}[/mm]
> V [mm]\otimes X\stackrel{g \otimes id_{x}}{\rightarrow}[/mm] W
> [mm]\otimes X\rightarrow[/mm] 0 exakt ist.
> Hallo zusammen,
>
>
> Ich muss also drei Sachen zeigen:
>
> 1. ker( f [mm]\otimes id_{x})=U \otimes[/mm] X
Nein, der Kern muss trivial sein, also [mm] $\ker (f\otimes id_x) [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] . Und nach Voraussetzung ist der Kern von f trivial: [mm] $\ker(f) [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] , also f injektiv. [mm] $id_X$ [/mm] ist auch injektiv.
> 2. ker (g [mm]\otimes id_{x})=Bild(f \otimes id_{x})[/mm]
> 3. [mm] W \otimes[/mm] X=Bild(g [mm]\otimes id_{x}).[/mm]
>
> Das dritte habe ich schon gezeigt, bei den ersten beiden
> habe ich aber Probleme.
>
> Da ich keine andere hatte, habe ich mir überlegt das mit
> Teilmengen zu zeigen.ker( f [mm]\otimes id_{x}) \subset[/mm] U
> [mm]\otimes[/mm] X gilt nach Konstruktion.
>
> Bleibt also noch zz: U [mm]\otimes[/mm] X [mm]\subset[/mm] ker( f [mm]\otimes id_{x}).[/mm]
>
> D.h. ich muss zeigen: f [mm]\otimes id_{x}(u \otimes[/mm] x)=0. Es
> ist f(u) [mm]\otimes id_{x}(x)=f(u) \otimes[/mm] x=ker(g) [mm]\otimes[/mm]
> x.
>
> Ab hier komme ich nicht mehr weiter.
>
> zu 2: [mm]f \otimes id_{x}(v \otimes x)=f(v) \otimes id_{x}(x)=ker(g) \otimes x[/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 12.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
> > Ich muss also drei Sachen zeigen:
> >
> > 1. ker( f [mm]\otimes id_{x})=U \otimes[/mm] X
>
> Nein, der Kern muss trivial sein, also [mm]$\ker (f\otimes id_x)[/mm]
> = [mm]\{0\}[/mm] . Und nach Voraussetzung ist der Kern von f
> trivial: [mm]$\ker(f)[/mm] = [mm]\{0\}$[/mm] , also f injektiv. [mm]$id_X$[/mm] ist
> auch injektiv.
Achso. Ist es immer so, dass wenn f:0 [mm] \to [/mm] V, wobei V irgendeine Vektorraum, dass dann Bild(f)=0 ist?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mo 13.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> > > Ich muss also drei Sachen zeigen:
> > >
> > > 1. ker( f [mm]\otimes id_{x})=U \otimes[/mm] X
> >
> > Nein, der Kern muss trivial sein, also [mm]$\ker (f\otimes id_x)[/mm]
> > = [mm]\{0\}[/mm] . Und nach Voraussetzung ist der Kern von f
> > trivial: [mm]$\ker(f)[/mm] = [mm]\{0\}$[/mm] , also f injektiv. [mm]$id_X$[/mm] ist
> > auch injektiv.
>
> Achso. Ist es immer so, dass wenn f:0 [mm]\to[/mm] V, wobei V
> irgendeine Vektorraum, dass dann Bild(f)=0 ist?
Ja. Da 0 aus genau einem Element besteht, muss auch das Bild aus genau einem Element bestehen. Und da das Bild immer 0 enthaelt, muss das Bild hier also gleich 0 sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Achso. Ist es immer so, dass wenn f:0 [mm]\to[/mm] V, wobei V
> > irgendeine Vektorraum, dass dann Bild(f)=0 ist?
>
> Ja. Da 0 aus genau einem Element besteht, muss auch das
> Bild aus genau einem Element bestehen. Und da das Bild
> immer 0 enthaelt, muss das Bild hier also gleich 0 sein.
Ok,alles klar. Vielen Dank euch beiden.
lg
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