Seperationsansatz < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 21.04.2011 | | Autor: | huzein |
Hallo,
ich habe keine Aufgabe sondern eine Frage zum Separationsansatz.
Betrachten wir zB die zweidimensionale Wellengleichung
[mm] $$\Delta u=c^2 u_{tt}.$$
[/mm]
Der Separationsansatz
$$u(x,y)=X(x)Y(y)$$
liefert das Eigenwertproblem
[mm] $$\Delta u+\lambda [/mm] u=0.$$
Meine Frage ist nun: Der Separationsansatz schränkt ja zunächst die möglichen Lösungen ein, denn es kommen ja nur diejenigen Funktionen $u$ in Frage, die dargestellt werden können durch das Produkt $X(x)Y(y)$. Nun gibt es da sicherlich ein Satz der aussagt, dass wenn es eine Lösung gibt, höchstens eine gibt, oder diese Lösung eindeutig ist, oder der Separationsansatz alle Lösungen liefert.
Nach so einem Satz suche ich, werde aber einfach nicht fündig. Vielleicht könnt ihr mir da weiter helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Do 21.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner Dgl hast du x und t, in deinem Ansatz plötzlich x und y.
wenn u=u(x,y,t) kannst du nicht einfach so ansetzen wie du.
aber die grundsätzliche antwort: wenn du genügend viele lin. unabh. lösungen duch den separationsansatz findest, kannst du zu jede Lösung linear kombinieren so dass du zu jeder Anfangsfkt u(x,0) durch linearkomb. eine lösung findest.
gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:51 Do 21.04.2011 | | Autor: | huzein |
du hast natürlich recht, das war schlampig geschrieben von mir. im grundegenommen meine ich das folgende
[mm] $$u(\underline{x},t)=U(\underline{x})T(t)\qquad, \underline{x}=(x,y)\in\Omega\subseteq\IR^2$$
[/mm]
und die Separation
[mm] $$U(\underline{x})=U(x,y)=X(x)Y(y)$$
[/mm]
zu deiner Antwort: dass wenn [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] Lösungen sind, dann auch jede Linearkombination [mm] $\mu u_1+\nu u_2$ [/mm] eine Lösung ist, ist klar. Meine Frage war so gemeint (vielleicht war sie etwas unpräzise formuliert): gibt Funktionen $u$, die sich vermöge des Separationsansatzes [mm] \underline{nicht} [/mm] darstellen lassen aber trotzdem die pDGL lösen? Wenn ja, dann hätte ich eine Lösung gefunden, welche sich nicht als Linearkombination der gefunden Lösungen durch Separationsansatz erzeugen lassen.
Und das ist die Frage. Gibt es solche Funktionen? Die Antwort ist nein, ich weiß, dass der Separationsansatz alle möglichen Lösungen liefert. Aber ich brauche ein Theorem welches diesen Tatbestand ausdrückt und beweist.
Danke und lieben Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 23.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Di 26.04.2011 | | Autor: | huzein |
Es wäre wirklich sehr toll, wenn mir jmd in der Sache helfen könnte. Ich brauche diesen Satz für meine BachelorArbeit.
Danke und lieben Gruß
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:23 Di 26.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit hyperbolischen Pdgl wie der hier kenn ich mich nicht so aus. wenn du bei ner elliptischen durch die part. lösungen alle anfangs, bzw randwerte erfüllen kannst, gibt es keine weitern. du musst also nach der Eindeutigkeit der lösungen bei gegebenem randwert suchen. Sowas ist ja wohl teil einer Bachelorarbeit.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 26.04.2011 | | Autor: | huzein |
ich werde mich zu deinen hinweisen mal etwas mehr erkundigen und mich dann nochmal melden.
danke erstmal.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:27 So 01.05.2011 | | Autor: | huzein |
Zur Lösung des Problems kann folgendes gesagt werden: Nach Separationsansatz entstehen aus der Wellengleichung zwei Differentialgleichungen
[mm] $T''+w^2 [/mm] T=0$
und
[mm] $\Delta U+\lambda [/mm] U=0$
Erstere hat Lösungen wie man in der Vorlesung gewöhnliche DGLen zeigt.
Zweitere wird wieder separiert und liefert dann weiere Lösungen. Die will ich jetzt nicht im Detail aufschreiben.
Man kann zeigen, dass die Eigenfunktionen des Laplace-Operators zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zu einander sind. Kann dann gezeigt werden, dass die Menge der Eigenfunktionen eine Orthogonalbasis des [mm] $L_2(\Omega)$ [/mm] bilden, so kann dann so argumentiert werden, dass wenn es eine weitere Eigenfunktion geben sollte, diese dann ebenfalls orthogonal zu allen anderen stehen müsste und das aber nicht sein kann.
In diesem Sinne mal eine Frage: zeigt man dass eine Menge von Funktionen eine Basis bildet mit der wronskideterminante? gilt das auch für Hilbertraumbasis, also insb. für unendlichdimensionale Vektorräume? eigentlich kann man ja dann die determinante nicht aufstellen, da abzählbar.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 03.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Di 26.04.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe mich das natürlich auch schon gefragt...
Im allgemeinen wird man mit dem Seperationsansatz nicht alle Lösungen finden können. Es hängt von der DGL ab. Oftmals kommt eine solche DGL ja aus der Physik, und dort kann man aus physikalischer Sicht sagen, das separiert werden kann (Zum Beispiel Zeit und Ort).
Mathematisch kann man mit Gruppentheorie (Abgeschlossenheit usw. ...) zeigen, dass die Lösung mit dem Separationsansatz die allgemeine ist. Wird aber kein einfacher Beweis sein...
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Mo 27.06.2011 | | Autor: | huzein |
Also nach langer Zeit Recherche, lesen, Frust, Glück und Freude, hab ich die Lösung für mein Problem gefunden. Damit auch andere etwas davon haben teile ich diese mit euch.
Die Frage war ob der Separationsansatz tatsächlich alle Lösungen liefert. Im allgemeinen ist das nicht der Fall. Jetzt gilt aber folgendes:
i. Der negative Laplace Operator ist selbstadjungiert, daraus folgt die Eigenwerte sind alle reell und die Eigenfunktionen sind orthogonal zu einander.
ii. bilden [mm] \varphi_{1j}(x),\varphi_{2j},\ldots [/mm] eine ONB des [mm] L_2(\Omega_1) [/mm] und [mm] \psi_1(y),\psi_2(y),\ldots [/mm] eine ONB von [mm] L_2(\Omega_2) [/mm] dann bildet das Produkt [mm] \{\varphi_{1j}(x)\psi_j(y)\} [/mm] eine ONB von [mm] L_2(\Omega_1\times\Omega_2)
[/mm]
iii. Das Dirichlet-Problem hat, wenn es lösbar ist, höchstens eine Lösung.
Gruß,
huzein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe keine Aufgabe sondern eine Frage zum
> Separationsansatz.
> Betrachten wir zB die zweidimensionale Wellengleichung
> [mm]\Delta u=c^2 u_{tt}.[/mm]
> Der Separationsansatz
> [mm]u(x,y)=X(x)Y(y)[/mm]
> liefert das Eigenwertproblem
> [mm]\Delta u+\lambda u=0.[/mm]
> Meine Frage ist nun: Der
> Separationsansatz schränkt ja zunächst die möglichen
> Lösungen ein, denn es kommen ja nur diejenigen Funktionen
> [mm]u[/mm] in Frage, die dargestellt werden können durch das
> Produkt [mm]X(x)Y(y)[/mm]. Nun gibt es da sicherlich ein Satz der
> aussagt, dass wenn es eine Lösung gibt, höchstens eine
> gibt, oder diese Lösung eindeutig ist, oder der
> Separationsansatz alle Lösungen liefert.
>
> Nach so einem Satz suche ich, werde aber einfach nicht
> fündig. Vielleicht könnt ihr mir da weiter helfen.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du böser Bube Du ... darf man lügen ?
http://www.matheboard.de/archive/453626/thread.html
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Di 26.04.2011 | | Autor: | huzein |
das posten im anderen forum ging erst dann los, nachdem die zeit hier überfällig war. war also nicht gelogen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 So 01.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Fred ist übereifrig wenns um die Ordnung im Matheraum geht...
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