Seperabilität von Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Do 12.10.2006 | | Autor: | antikind |
Ich habe diese Frage in keinem Forum und auf anderen Internetseite gestellt.
Unserer Professor, hat bevor er die Seperabilität von Polynomen eingeführt hat. Versucht zu erläutern warum mehrfache Nullstellen in Erweiterungskörpern ein Problem darstellen können.
Irgendwie habe ich das noch nicht wirklich verstanden.
Dazu betrachen wir K = GF(p) und die beiden erweiterung M=K(x) und L= [mm] K(x^p). [/mm] Wobei wir noch den Automorphismus phi wobei phi K->k, [mm] a->a^p [/mm] ist. Weiter sei dann q:= [mm] y^p [/mm] - [mm] x^p [/mm] in L[y] irreduzibel
Aber in M[y] ist q eine Primfaktorzerlegung von sich selbst. uns x p-fache Nullstelle von q in M
Meine Frage ist jetzt ob die einzige problematik die bei Mehrfachen Nullstellen besteht, das ein Polynom in der einen Erweiterung irreduzibel in einer Anderen aber nicht.
Oder ist die Problematik irgendwie weitreihender und was für Probleme folgen noch daraus?
Irgendwie komme ich nicht dahinter.
lg
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:37 Fr 13.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo antikind!
> Unserer Professor, hat bevor er die Seperabilität von
> Polynomen eingeführt hat. Versucht zu erläutern warum
> mehrfache Nullstellen in Erweiterungskörpern ein Problem
> darstellen können.
>
> Irgendwie habe ich das noch nicht wirklich verstanden.
> Dazu betrachen wir K = GF(p) und die beiden erweiterung
> M=K(x) und L= [mm]K(x^p).[/mm] Wobei wir noch den Automorphismus
Also ist $M$ eine Koerpererweiterung von $L$, und zwar $M = L[x] = L(x)$.
> phi wobei phi K->k, [mm]a->a^p[/mm] ist. Weiter sei dann q:= [mm]y^p[/mm] -
> [mm]x^p[/mm] in L[y] irreduzibel
Weisst du auch, warum das Polynom irreduzibel ist?
> Aber in M[y] ist q eine Primfaktorzerlegung von sich
> selbst. uns x p-fache Nullstelle von q in M
Du meinst: $q$ zerfaellt in $M[y]$ in Linearfaktoren, und zwar ist $x$ eine $p$-fache Nullstelle von $q$. Also ist $q = (y - [mm] x)^p \in [/mm] M[y]$.
> Meine Frage ist jetzt ob die einzige problematik die bei
> Mehrfachen Nullstellen besteht, das ein Polynom in der
> einen Erweiterung irreduzibel in einer Anderen aber nicht.
Nein, das kommt ja sehr oft vor, egal ob die Erweiterung Separabel ist oder nicht. Etwa [mm] $x^2 [/mm] + 1$ ist in [mm] $\IR[x]$ [/mm] irreduzibel, in [mm] $\IC[x]$ [/mm] aber nicht. (Und dort hat es keine mehrfache Nullstellen.)
> Oder ist die Problematik irgendwie weitreihender und was
> für Probleme folgen noch daraus?
Das Problem ist, dass irreduzible Polynome mehrfache Nullstellen in Erweiterungskoerpern haben koennen. Wie du bei $q$ oben siehst. Bei Erweiterungen von [mm] $\IQ$ [/mm] kann das z.B. nicht passieren, da haben irreduzible Polynome immer paarweise verschiedene Nullstellen im Zerfaellungskoerper.
Es gibt in der Algebra viele Resultate, die besonders schoen formuliert werden koennen (oder auch nur dann), wenn man gewisse Separabilitaetsbedingungen hat. Wenn du Polynome als geometrische Objekte in dem Sinn auffasst, das ihre Nullstellenmenge gemeint ist, dann moechte man einfach, dass separable Polynome genauso viele (verschiedene) Nullstellen haben wie der Grad des Polynoms ist. Und diesen Gefallen tun einen halt nur separable Polynome.
Ich hoffe mal das hilft dir ein wenig weiter...
LG Felix
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