Separabilitätsgrad, char K=p>0 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $K\;$ [/mm] Körper, $char [mm] \: [/mm] K > 0$ und [mm] $L=K(\alpha)/K$ [/mm] eine einfache algebraische Körpererweiterung, [mm] $f\:$ [/mm] sei das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] über K und [mm] $p^r$ [/mm] die Vielfachheit der Nullstelle [mm] $\alpha$ [/mm] von f.
Zeige: $[L:K] = [mm] p^r[L:K]_s$ [/mm] |
Hallo,
ich bin mir noch ein wenig unsicher im Umgang mit Körpern endlicher Charakteristik und wollte Fragen, ob meine Argumentation so stimmt?
Ist [mm] $\alpha$ [/mm] Nullstelle der Vielfachheit [mm] $p^r$, [/mm] so haben alle Nullstellen von f diese Vielfachheit, denn:
$f [mm] \in [/mm] K[X]$ irreduzibel [mm] $\Rightarrow \exists [/mm] r [mm] \in \IN \cup \{0\}$ [/mm] maximal: [mm] $\exists [/mm] h [mm] \in [/mm] K[X]: f(X) = [mm] h\left(X^{p^r}\right)$.
[/mm]
Dann ist $g' [mm] \not= [/mm] 0$, denn ang. $g = [mm] 0\:$: [/mm] g lässt sich schreiben als $g = [mm] \summe_{i=0}^m a_iX^i$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] g' = [mm] \summe_{i=1}^m ia_iX^{i-1} \Rightarrow$ [/mm] da $g' = 0$ nach Annahme folgt [mm] $ia_i=0 \Rightarrow p\:|\:i$ [/mm] oder [mm] $a_i=0 \Rightarrow \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] K[X]: [mm] g(X)=h(X^p)$. [/mm] Dies steht aber im Widerspruch zur Maximalität von oben gewähltem r. Damit ist $g' [mm] \not= [/mm] 0$
Außerdem ist g irreduzibel, denn wäre g reduzibel so auch f, f ist als Minimalpolynom jedoch irreduzibel.
Betrachte nun g in einem alg. Abschluss [mm] $\bar{K}$ [/mm] von $K [mm] \Rightarrow$ [/mm] $g = [mm] \produkt_{i}(X-a_i)$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] K [mm] \Rightarrow$ [/mm] mit [mm] $b_i^{p^r} [/mm] = [mm] a_i$ [/mm] gilt dann: $f = [mm] \produkt_i (X^{p^r}-b_i^{p^r}) [/mm] = [mm] \produkt_i (X-b_i)^{p^r}$. [/mm] Damit haben alle Nullstellen von f die Vielfachheit [mm] $p^r$.
[/mm]
Also folgt daraus, dass [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle von f Vielfachheit [mm] $p^r$ [/mm] hat bereits, dass alle Nullstellen diese Vielfachheit haben (das gilt aber nur da f irreduzibel).
[mm] $[L:K]_s$ [/mm] ist nun die Anzahl der Nullstellen [mm] $b_i$, [/mm] denn [mm] $[L:K]_s=#Hom_K(L,\bar{K})$ [/mm] und zu jedem Paar von Nullstellen [mm] $(b_i,b_j)$ [/mm] gibt es genau einen K-Homomorphismus der [mm] $b_i$ [/mm] auf [mm] $b_j$ [/mm] abbildet. Damit hat f den Grad [mm] $p^r[L:K]_s$. [/mm] Und damit ist $[L:K] = deg [mm] \:f [/mm] = [mm] p^r[L:K]_s$.
[/mm]
Ist das alles richtig so? Freue mich sehr über jede Antwort, bin mir nämlich wirklich unsicher!
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Fr 07.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]K\;[/mm] Körper, [mm]char \: K > 0[/mm] und [mm]L=K(\alpha)/K[/mm] eine
> einfache algebraische Körpererweiterung, [mm]f\:[/mm] sei das
> Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über K und [mm]p^r[/mm] die Vielfachheit
> der Nullstelle [mm]\alpha[/mm] von f.
> Zeige: [mm][L:K] = p^r[L:K]_s[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin mir noch ein wenig unsicher im Umgang mit Körpern
> endlicher Charakteristik und wollte Fragen, ob meine
> Argumentation so stimmt?
>
> Ist [mm]\alpha[/mm] Nullstelle der Vielfachheit [mm]p^r[/mm], so haben alle
> Nullstellen von f diese Vielfachheit, denn:
> [mm]f \in K[X][/mm] irreduzibel [mm]\Rightarrow \exists r \in \IN \cup \{0\}[/mm]
> maximal: [mm]\exists h \in K[X]: f(X) = h\left(X^{p^r}\right)[/mm].
>
> Dann ist [mm]g' \not= 0[/mm],
Es ist sicher $g = h$, oder? :)
> denn ang. [mm]g = 0\:[/mm]: g lässt sich
> schreiben als [mm]g = \summe_{i=0}^m a_iX^i[/mm] mit [mm]a_i \in K \Rightarrow g' = \summe_{i=1}^m ia_iX^{i-1} \Rightarrow[/mm]
> da [mm]g' = 0[/mm] nach Annahme folgt [mm]ia_i=0 \Rightarrow p\:|\:i[/mm]
> oder [mm]a_i=0 \Rightarrow \exists h \in K[X]: g(X)=h(X^p)[/mm].
> Dies steht aber im Widerspruch zur Maximalität von oben
> gewähltem r. Damit ist [mm]g' \not= 0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Außerdem ist g
> irreduzibel, denn wäre g reduzibel so auch f, f ist als
> Minimalpolynom jedoch irreduzibel.
> Betrachte nun g in einem alg. Abschluss [mm]\bar{K}[/mm] von [mm]K \Rightarrow[/mm]
Nimm lieber einen, der auch $L$ enthaelt 
> [mm]g = \produkt_{i}(X-a_i)[/mm] mit [mm]a_i \in K \Rightarrow[/mm] mit
> [mm]b_i^{p^r} = a_i[/mm] gilt dann: [mm]f = \produkt_i (X^{p^r}-b_i^{p^r}) = \produkt_i (X-b_i)^{p^r}[/mm].
> Damit haben alle Nullstellen von f die Vielfachheit [mm]p^r[/mm].
Dazu brauchst du, dass die [mm] $a_i$ [/mm] paarweise verschieden sind. Sind sie das denn? Sprich: ist $g$ separabel?
(Ich vermute du weisst warum das gilt, hast es nur nicht explizit hingeschrieben...)
> Also folgt daraus, dass [mm]\alpha[/mm] als Nullstelle von f
> Vielfachheit [mm]p^r[/mm] hat bereits, dass alle Nullstellen diese
> Vielfachheit haben (das gilt aber nur da f irreduzibel).
>
> [mm][L:K]_s[/mm] ist nun die Anzahl der Nullstellen [mm]b_i[/mm], denn
> [mm][L:K]_s=#Hom_K(L,\bar{K})[/mm] und zu jedem Paar von Nullstellen
> [mm](b_i,b_j)[/mm] gibt es genau einen K-Homomorphismus der [mm]b_i[/mm] auf
> [mm]b_j[/mm] abbildet. Damit hat f den Grad [mm]p^r[L:K]_s[/mm]. Und damit
> ist [mm][L:K] = deg \:f = p^r[L:K]_s[/mm].
>
> Ist das alles richtig so? Freue mich sehr über jede
> Antwort, bin mir nämlich wirklich unsicher!
Sieht gut aus! (Modulo der von mir angemerkten Kleinigkeiten )
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, tausend Dank für die Antwort.
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> > Betrachte nun g in einem alg. Abschluss [mm]\bar{K}[/mm] von [mm]K \Rightarrow[/mm]
>
> Nimm lieber einen, der auch [mm]L[/mm] enthaelt
>
> > [mm]g = \produkt_{i}(X-a_i)[/mm] mit [mm]a_i \in K \Rightarrow[/mm] mit
> > [mm]b_i^{p^r} = a_i[/mm] gilt dann: [mm]f = \produkt_i (X^{p^r}-b_i^{p^r}) = \produkt_i (X-b_i)^{p^r}[/mm].
> > Damit haben alle Nullstellen von f die Vielfachheit [mm]p^r[/mm].
>
> Dazu brauchst du, dass die [mm]a_i[/mm] paarweise verschieden sind.
> Sind sie das denn? Sprich: ist [mm]g[/mm] separabel?
>
> (Ich vermute du weisst warum das gilt, hast es nur nicht
> explizit hingeschrieben...)
[mm] $g\:$ [/mm] ist ja irreduzibel. Angenommen [mm] $a\: \in \overline{L}$ [/mm] Nullstelle von $g [mm] \Rightarrow [/mm] g = [mm] min_K(a)$. [/mm] Angenommen [mm] $a\:$ [/mm] ist mehrfache Nullstelle [mm] $\Rightarrow [/mm] g'(a) = 0$. Da aber $deg [mm] \: [/mm] g' < deg [mm] \: [/mm] g$ und [mm] $g\:$ [/mm] das normierte Polynom kleinsten Grades ist, das [mm] $a\:$ [/mm] annuliert, muss [mm] $g'\:$ [/mm] bereits das Nullpolynom sein. Oben habe ich aber gezeigt, dass $g' [mm] \not= [/mm] 0$. Also kann [mm] $g\:$ [/mm] keine mehrfachen Nullstellen haben.
Passts so?
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Fr 07.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > [mm]g = \produkt_{i}(X-a_i)[/mm] mit [mm]a_i \in K \Rightarrow[/mm] mit
> > > [mm]b_i^{p^r} = a_i[/mm] gilt dann: [mm]f = \produkt_i (X^{p^r}-b_i^{p^r}) = \produkt_i (X-b_i)^{p^r}[/mm].
> > > Damit haben alle Nullstellen von f die Vielfachheit [mm]p^r[/mm].
> >
> > Dazu brauchst du, dass die [mm]a_i[/mm] paarweise verschieden sind.
> > Sind sie das denn? Sprich: ist [mm]g[/mm] separabel?
> >
> > (Ich vermute du weisst warum das gilt, hast es nur nicht
> > explizit hingeschrieben...)
>
> [mm]g\:[/mm] ist ja irreduzibel. Angenommen [mm]a\: \in \overline{L}[/mm]
> Nullstelle von [mm]g \Rightarrow g = min_K(a)[/mm]. Angenommen [mm]a\:[/mm]
> ist mehrfache Nullstelle [mm]\Rightarrow g'(a) = 0[/mm]. Da aber [mm]deg \: g' < deg \: g[/mm]
> und [mm]g\:[/mm] das normierte Polynom kleinsten Grades ist, das [mm]a\:[/mm]
> annuliert, muss [mm]g'\:[/mm] bereits das Nullpolynom sein. Oben
> habe ich aber gezeigt, dass [mm]g' \not= 0[/mm]. Also kann [mm]g\:[/mm] keine
> mehrfachen Nullstellen haben.
> Passts so?
Ja, damit ist's perfekt 
LG Felix
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