Senkrechtraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
| Aufgabe | Sei W ein Vektorraum
U [mm] \subset [/mm] W sei eine Menge.
[mm] U^{\perp} :=\{ v \in W | = 0 \mbox{ für alle } u \in U\}
[/mm]
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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie kann ich mir das anschaulich vorstellen?
Nehmen wir [mm] W=\IR^{3} [/mm] und U eine Ebene parallel zur x-Achse
Dann sind alle Vektoren, die parallel zur y-Achse sind, in [mm] U^{\perp}
[/mm]
Da sie überall auf der Fläche "stehen", ergibt das weder eine gerade, noch eine ebene... aufm ersten blick hab ich gedacht, das wäre [mm] \IR^{3}, [/mm] aber das kann nicht sein..
ich stelle mir das gerade einfach so vor, : [mm] U^{\perp} [/mm] ist eine Menge von Vektoren, die alle nach "oben" schauen, bzw auch nach unten, also "ohne richtung", die trotzdem den ganzen raum [mm] \IR^{3} [/mm] "abdecken".
Ist nicht so mathematisch beschrieben aber 
wie stellt ihr euch diesen Raum vor?
danke!
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> Sei W ein Vektorraum
> U [mm]\subset[/mm] W sei eine Menge.
>
> [mm]U^{\perp} :=\{ v \in W | = 0 \mbox{ für alle } u \in U\}[/mm]
Hallo,
soll U eine Menge sein, oder ein Unterraum von W?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
hallo,
also erstmal ist es eine menge, man soll zeigen dass das ein untervektorraum ist ..
das kann ich glaube ich lösen, wollte nur wissen wie man sich das anschaulich vorstelllen kann :)
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> hallo,
>
> also erstmal ist es eine menge, man soll zeigen dass das
> ein untervektorraum ist ..
Nee Du, bei U ist nix zu zeigen, U gehört zu den Vorgaben. zu zeigen ist dann etwas bei [mm] U^{\perp}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
ahso, stimmt
ich hab als U eine ebene genommen, also ein Untervektorraum von W
wenn ich aber U als eine Menge von Vektoren von der Ebene nehme, sagen wir s und u, ist [mm] U^{\perp} [/mm] trotzdem die menge aller vektoren, die orthogonal zu diesen 2 vektoren sind, also alle vektoren, die in diesem fall "nach oben bzw nach unten schauen",weil die ebene parallel zur x-achse ist.
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> Sei W ein Vektorraum
> U [mm]\subset[/mm] W sei eine Menge.
>
> [mm]U^{\perp} :=\{ v \in W | = 0 \mbox{ für alle } u \in U\}[/mm]
Hallo,
es enthält [mm] U^{\perp} [/mm] dann all die vektoren, die auf jedem Vektor, der in U enthalten ist, senkrecht stehen. Und natürlich den Nullvektor.
Wandeln wir Dein Beispiel mal ab, so daß es etwas genießbarer wird.
Wir nehmen als Grundraum den [mm] \IR^3 [/mm] und als U einen Unterraum, eine Ebene durch den Ursprung.
Welche Vektoren stehen nun senkrecht auf jedem Element von U? Sämtliche Normalenvektoren. [mm] U^{\perp} [/mm] ist der von einem Normalenvektor aufgespannte Unterraum.
> Nehmen wir $ [mm] W=\IR^{3} [/mm] $ und U eine Ebene parallel zur x-Achse
Für eine Ebene durch den Ursprung habe ich das oben erklärt.
Dein Beispiel ist fies, das ist nämlich kein Unterraum.
Wir vereinfachen es, indem wir es in den [mm] \IR^2 [/mm] verlegen. Dann kannst Du es aufzeichnen.
Nimm als U nun eine Gerade parallel zur x-Achse, welche nicht durch den Ursprung geht.
Welche Vektoren sind in U enthalten? Alle Ortsvektoren der Punkte, die auf der Geraden liegen. Diese Ortsvektoren haben ziemlich viele verschiedene Richtungen... (Nur einer, der parallel zur x-Achse ist, ist nicht dabei.) Tja, da siehts schlecht aus mit Vektoren, die zu all diesen Ortsvektoren senkrecht sind, oder? Bleibt für [mm] U^{\perp} [/mm] nur der Nullvektor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
> Hallo,
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> es enthält [mm]U^{\perp}[/mm] dann all die vektoren, die auf jedem
> Vektor, der in U enthalten ist, senkrecht stehen. Und
> natürlich den Nullvektor.
>
> Wandeln wir Dein Beispiel mal ab, so daß es etwas
> genießbarer wird.
>
> Wir nehmen als Grundraum den [mm]\IR^3[/mm] und als U einen
> Unterraum, eine Ebene durch den Ursprung.
>
> Welche Vektoren stehen nun senkrecht auf jedem Element von
> U? Sämtliche Normalenvektoren. [mm]U^{\perp}[/mm] ist der von einem
> Normalenvektor aufgespannte Unterraum.
>
ok, aber wenn [mm] U^{\perp} [/mm] der von einem normalenvektor aufgespannten unterraum ist, wäre das nicht eine gerade? oder soll ich mir das so vorstellen, dass der normalenvektor keine feste position hat, nur richtung?
Bis jetzt habe ich mir immer z.b. [mm] \alpha\vektor{1 \\ 1}, \alpha \in \IR [/mm] als die gerade vorgestellt, die der vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] aufspannt.
Da gibts aber keinen Ortsvektor..
wenn ich das jetzt richtig verstehe, ist z.b. [mm] \alpha\vektor{1 \\ 1}, \alpha \in \IR [/mm] die menge ALLER geraden, die parallel zu [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] sind, und [mm] \vektor{4 \\5} [/mm] + [mm] \alpha\vektor{1 \\ 1}, \alpha \in \IR [/mm] ist EINE gerade?
wenn das richtig ist, habe ich eine frage zu Gleichungssysteme, die keine eindeutige lösung haben. z.b.
x+y=0
2x+2y=0
also [mm] y=\beta, \beta \in \IR
[/mm]
also [mm] \vec{x}=\vektor{-1 \\1}\beta, \beta \in \IR
[/mm]
Ich habe mir das immer als EINE gerade vorgestellt, und zwar wo sich die geraden des systems schneiden, also hier die gerade x+y=0
>
> > Nehmen wir [mm]W=\IR^{3}[/mm] und U eine Ebene parallel zur x-Achse
>
> Für eine Ebene durch den Ursprung habe ich das oben
> erklärt.
> Dein Beispiel ist fies, das ist nämlich kein Unterraum.
>
> Wir vereinfachen es, indem wir es in den [mm]\IR^2[/mm] verlegen.
> Dann kannst Du es aufzeichnen.
>
> Nimm als U nun eine Gerade parallel zur x-Achse, welche
> nicht durch den Ursprung geht.
> Welche Vektoren sind in U enthalten? Alle Ortsvektoren der
> Punkte, die auf der Geraden liegen. Diese Ortsvektoren
> haben ziemlich viele verschiedene Richtungen... (Nur einer,
> der parallel zur x-Achse ist, ist nicht dabei.) Tja, da
> siehts schlecht aus mit Vektoren, die zu all diesen
> Ortsvektoren senkrecht sind, oder? Bleibt für [mm]U^{\perp}[/mm] nur
> der Nullvektor.
>
> Gruß v. Angela
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> >
> > Wir nehmen als Grundraum den [mm]\IR^3[/mm] und als U einen
> > Unterraum, eine Ebene durch den Ursprung.
> >
> > Welche Vektoren stehen nun senkrecht auf jedem Element von
> > U? Sämtliche Normalenvektoren. [mm]U^{\perp}[/mm] ist der von einem
> > Normalenvektor aufgespannte Unterraum.
> >
> ok, aber wenn [mm]U^{\perp}[/mm] der von einem normalenvektor
> aufgespannten unterraum ist, wäre das nicht eine gerade?
Doch. Die Gerade durch den Ursprung in Richtung des Normalenvektors der Ebene.
Jetzt machen wir was anderes:
wir nehmen als U eine Gerade durch den Ursprung.
Welche Vektoren stehen senkrecht darauf? Alle die, die in der zur Geraden senkrechten Ebene durch den Ursprung liegen. In diesem Fall ist [mm] U^{\perp} [/mm] also eine Ebene.
> oder soll ich mir das so vorstellen, dass der
> normalenvektor keine feste position hat, nur richtung?
Vektoren haben keine Position, sondern es interessieren nur Betrag und Richtung.
> Bis jetzt habe ich mir immer z.b. [mm]\alpha\vektor{1 \\ 1}, \alpha \in \IR[/mm]
> als die gerade vorgestellt, die der vektor [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> aufspannt.
Ja, das ist ja auch gut so. Es ist die Gerade durch den Ursprung in Richtung [mm] \vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
> Da gibts aber keinen Ortsvektor..
???
Doch. Auf der Geraden liegen all die vielen Punkte mit Ortsvektor [mm] \alpha\vektor{1 \\ 1}, \alpha \in \IR.
[/mm]
> wenn ich das jetzt richtig verstehe, ist z.b.
> [mm]\alpha\vektor{1 \\ 1}, \alpha \in \IR[/mm] die menge ALLER
> geraden, die parallel zu [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] sind,
Nein.
> [mm]\vektor{4 \\5}[/mm] + [mm]\alpha\vektor{1 \\ 1}, \alpha \in \IR[/mm] ist
> EINE gerade?
Das ist zwar eine Gerade, aber nicht die von [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] aufgespannte Gerade.
Es ist eine Gerade, die parallel zu [mm] <\vektor{1 \\ 1}> [/mm] ist, und diese von Dir genannte Gerade durch den Punkt mit Ortsvektor [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] ist KEIN Untervektorraum.
>
> wenn das richtig ist, habe ich eine frage zu
> Gleichungssysteme, die keine eindeutige lösung haben. z.b.
> x+y=0
> 2x+2y=0
> also [mm]y=\beta, \beta \in \IR[/mm]
> also [mm]\vec{x}=\vektor{-1 \\1}\beta, \beta \in \IR[/mm]
>
> Ich habe mir das immer als EINE gerade vorgestellt, und
> zwar wo sich die geraden des systems schneiden, also hier
> die gerade x+y=0
Du bist jetzt im [mm] \IR^2?
[/mm]
Hier beschreibt Du mit
> x+y=0
> 2x+2y=0
zwei identische Geraden, von daher nimmt es wenig Wunder, daß Du als Schnittgebilde diese Gerade bekommst, und in der Tat ist deren Parameterdarstellung so, wie von Dir angegeben.
Es ist EINE Gerade.
Aber ich glaube ich verstehe, was Du meinst:
Wenn Du ein homogenes (!) lineares GS hast, kannst Du den Lösungsraum als Schnitt der einzelnen durch die Gleichungen beschriebenen Räume auffassen.
Die Lösungsmenge ist ein Vektorraum, enthält also insbesondere die Null.
Gruß v. Angela
>
> >
> > > Nehmen wir [mm]W=\IR^{3}[/mm] und U eine Ebene parallel zur x-Achse
> >
> > Für eine Ebene durch den Ursprung habe ich das oben
> > erklärt.
> > Dein Beispiel ist fies, das ist nämlich kein
> Unterraum.
> >
> > Wir vereinfachen es, indem wir es in den [mm]\IR^2[/mm] verlegen.
> > Dann kannst Du es aufzeichnen.
> >
> > Nimm als U nun eine Gerade parallel zur x-Achse, welche
> > nicht durch den Ursprung geht.
> > Welche Vektoren sind in U enthalten? Alle Ortsvektoren
> der
> > Punkte, die auf der Geraden liegen. Diese Ortsvektoren
> > haben ziemlich viele verschiedene Richtungen... (Nur einer,
> > der parallel zur x-Achse ist, ist nicht dabei.) Tja, da
> > siehts schlecht aus mit Vektoren, die zu all diesen
> > Ortsvektoren senkrecht sind, oder? Bleibt für [mm]U^{\perp}[/mm] nur
> > der Nullvektor.
> >
> > Gruß v. Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mi 12.09.2007 | | Autor: | holwo |
vielen dank!
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