Senkrechte auf einer geraden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Do 22.12.2005 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | | Gegeben seien die Punkte A(3;7), B(7;1), Geben sie die Punktnormalenform der geraden an, welche die mittelsenkrechte zur Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] darstellt |
nabend zusammen... ich stehe gerade voll aufm schlauch...
also den mittelpunkt der geraden [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist nicht das problem... aber wie bekomme ich denn hier den vektor der senkrecht auf der geraden steht hin? bei ner ebene währe es ja über das kreuzprodunkt zu lösen... aber hier.... null ahnung...
vielen dank schon mla im vorraus für eure hilfe...
mfg Gwin
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Hallo Gwin,
> Gegeben seien die Punkte A(3;7), B(7;1), Geben sie die
> Punktnormalenform der geraden an, welche die
> mittelsenkrechte zur Strecke [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
> darstellt
> nabend zusammen... ich stehe gerade voll aufm schlauch...
>
> also den mittelpunkt der geraden [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] ist
> nicht das problem... aber wie bekomme ich denn hier den
> vektor der senkrecht auf der geraden steht hin? bei ner
> ebene währe es ja über das kreuzprodunkt zu lösen... aber
> hier.... null ahnung...
Für zwei im [mm]\IR^{2}[/mm] aufeinander senkrecht stehende Geraden gilt:
[mm]m_ {1}\;m_{2}\;=\;-1[/mm]
Ist die Steigung [mm]m_{1}[/mm] der Geraden [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] bekannt und verschieden von 0, so gilt für die Steigung der senkrechten Geraden:
[mm]m_{2}\;=\;\bruch{-1}{m_{1}}[/mm]
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> vielen dank schon mla im vorraus für eure hilfe...
> mfg Gwin
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Do 22.12.2005 | | Autor: | Gwin |
hi MathePower...
vielen dank für den hinweiß das über die steigung zu berechnen...
ich habe jetzt bei der aufgabe als erstes die strecke [mm] \bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}
[/mm]
berechnet: [mm] \vektor{7-3 \\ 1-7} [/mm] = [mm] \vektor{4\\ -6}... \bruch{1}{2}*\vektor{4\\ -6} [/mm] = [mm] \vektor{2\\ -3}...
[/mm]
den mittelpunkt berechnet durch: [mm] \vektor{3+2\\ 7-3} [/mm] = [mm] \vektor{5\\ 4}...
[/mm]
jetzt kann man die richtung ja über die steigung errechnen...
ich habe folgendes probiert:
mittelpunkt [mm] \vektor{5\\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{x1\\ y1}...
[/mm]
richtungsvektor von A zum Mittelpunkt M [mm] \vektor{2\\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{x2\\ y2} [/mm] ...
wenn man jetzt [mm] \vektor{x1+|y2|\\ y1+|x2|}=\vektor{8\\ 6} [/mm] rechnet und eine gerade vom Mittelpunkt M zu diesem punkt zieht entsteht eine gerade die senkrecht auf der ursprungesgeraden steht... ist das zufall oder geht das auf diese art immer? diese methode währe wesentlich einfacher da wir in der matheklausur keinen taschenrechner benutzen dürfen (wenn es geht gibt es das auch für [mm] \IR^{3} [/mm] ?)... ich hoffe man versteht was und wie ich es meine...
ist denn die lösung (die punktnormalenform) dann = g:n(r-r1) = [mm] \vektor{2\\ -3}*(\vektor{8\\ 6}-\vektor{5\\ 4}) [/mm] ?
mfg Gwin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gwin!
Du rechnest viel zu kompliziert. Zudem kann Dein Ergebnis für die Punkt-Normalen-Form nicht stimmen, da ja da der "unbekannte Vektor" [mm] $\vec{x}$ [/mm] (= Variable) fehlt.
Allgemein für die Gerade (in der Ebene!) : [mm] $\blue{\vec{n}*\left(\vec{x}-\vec{p}\right) \ = \ 0}$
[/mm]
Der Aufpunkt (bzw. Stützpunkt) der gesuchten Geraden ist ja unser ermittelteter Mittelpunkt $M_$ zwischen $A_$ und $B_$ .
[mm] $\vec{p} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{OM} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\vektor{3\\7}+\vektor{7\\1}\right] [/mm] \ = \ [mm] \vektor{5\\4}$
[/mm]
Und da die gesuchte Gerade eine Senkrechte(!) auf die Strecke $AB_$ sein soll, ist ein Normalenvektor auf die gesuchte Gerade auch wieder exakt der urspüngliche Richtungsvektor [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] :
[mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{7\\1}-\vektor{3\\7} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{4\\-6}$
[/mm]
Einsetzen von [mm] $\vec{n}$ [/mm] und [mm] $\vec{p}$ [/mm] in o.g. (blaue) genannte Formel liefert die gesuchte Gerade in Punkt-Normalen-Form.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Fr 23.12.2005 | | Autor: | Gwin |
hi Loddar...
naja gut... die aufgabe ist dann ja nun wirklich nicht so schwer... müste mir dann wohl nochmal die punkt-normalenform etwas genauer anschauen...
aber ist denn die art wie ich die senkrechte gerade berechnet habe richtig? kann man das immer so machen? und gibt es eine ähnliche art das auch im dreidimensionalen zu machen (bei geraden) ?
PS: wünsche allen schon mal nen schönes und besinnliches weinachtsfest...
mfg Gwin
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Hallo Gwin,
> hi Loddar...
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> naja gut... die aufgabe ist dann ja nun wirklich nicht so
> schwer... müste mir dann wohl nochmal die
> punkt-normalenform etwas genauer anschauen...
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> aber ist denn die art wie ich die senkrechte gerade
> berechnet habe richtig? kann man das immer so machen? und
> gibt es eine ähnliche art das auch im dreidimensionalen zu
> machen (bei geraden) ?
im [mm]\IR^{3}[/mm] läuft das gemeinhin unter senkrechter Projektion.
Du hast 3 Punkte A,B,C. Durch A,B geht eine Gerade g. Gesucht ist die dazu senkrechte Gerade durch den Punkt C.
Der Richtungsvektor der senkrechten Geraden h ergibt sich zu
[mm]\overrightarrow {m_h } \; = \;C\; - \;\lambda \;\left( {B\; - A} \right)[/mm]
wobei dieser senkrecht zu
[mm]\overrightarrow {m_g } \; = \;B\; - \;A[/mm]
sein muß.
Also muß gelten :
[mm] < \;\overrightarrow {m_g } ,\;\overrightarrow {m_h } > \; = \;0[/mm]
Hieraus erhältst Du den Parameter [mm]\lambda[/mm].
<,> bezeichnet das Skalarprodukt.
Setze dieses [mm]\lambda[/mm] in obige Gleichung für [mm]\overrightarrow {m_h }[/mm] ein und Du erhältst den gesuchten Richtungsvektor.
Ich denke, das hier ist ein allgemeines Verfahren zur Bestimmung einer senkrechten Geraden durch einen Punkt C zu einer gegebenen Geraden.
Gruß
MathePower
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