Senkrechte Gerade zur Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Senkrechte zur Ebene E durch den Diagonalenschnittpunkt M des Quadrats ABCD heiße h. Zeigen Sie, dass sich die Geraden g und h in genau einem Punkt S schneiden und berechnen Sie seine Koordinaten.
Gerade g ist gegeben mit: [mm] \vec{x}= \vektor{3 \\ 7 \\ 2}+r* \vektor{5 \\ 7 \\ -1}
[/mm]
Ebene E: -3y+4z=12
Die Punkte seien:
A [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 6}, [/mm] B [mm] \vektor{-2 \\ 4 \\ 6}, [/mm] C [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 3}, [/mm] D [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AB}= \vektor{-5 \\ 0 \\ 0}, \overrightarrow{BC}= \vektor{0 \\ -4 \\ -3} [/mm] |
Hallo,
die Gerade ist h: [mm] \vec{x}= \overrightarrow{OM}+ [/mm] t* [mm] \overrightarrow{RV_{g}}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM}= [/mm] Ortsvektor des Mittelpunktes M, und diesen definiere ich folgendermaßen:
[mm] \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \bruch{\overrightarrow{AB}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\overrightarrow{BC}}{2} [/mm] = [mm] \vektor{0,5 \\ 2 \\ 4,5}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{RV_{g}}= [/mm] Richtungsvektor der Geraden; und dieser muss linear abhängig vom Normalenvektor [mm] \overrightarrow{NV_{E}} [/mm] der Ebene sein, damit g [mm] \perp [/mm] E gilt.
d.h.: g [mm] \perp [/mm] E, wenn: [mm] \overrightarrow{RV_{g}}= [/mm] k * [mm] \overrightarrow{NV_{E}}
[/mm]
für den einfach Fall dass k=1, sieht die Geradengleichung für h so aus:
h: [mm] \vec{x}= \vektor{0,5 \\ 2 \\ 4,5}+t* \vektor{0 \\ -3 \\ 4}
[/mm]
Nun die Schnittpunktberechnung. Dafür setze ich g=h,
der Schnittpunkt hat die Koordinaten: S [mm] \vektor{0,5 \\ 3,5 \\ 2,5}
[/mm]
Ist das alles soweit richtig?
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Hallo Mathe-Andi,
> Die Senkrechte zur Ebene E durch den Diagonalenschnittpunkt
> M des Quadrats ABCD heiße h. Zeigen Sie, dass sich die
> Geraden g und h in genau einem Punkt S schneiden und
> berechnen Sie seine Koordinaten.
>
> Gerade g ist gegeben mit: [mm]\vec{x}= \vektor{3 \\ 7 \\ 2}+r* \vektor{5 \\ 7 \\ -1}[/mm]
>
> Ebene E: -3y+4z=12
>
> Die Punkte seien:
>
> A [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 6},[/mm] B [mm]\vektor{-2 \\ 4 \\ 6},[/mm] C
> [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 3},[/mm] D [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}= \vektor{-5 \\ 0 \\ 0}, \overrightarrow{BC}= \vektor{0 \\ -4 \\ -3}[/mm]
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> Hallo,
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> die Gerade ist h: [mm]\vec{x}= \overrightarrow{OM}+[/mm] t*
> [mm]\overrightarrow{RV_{g}}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{OM}=[/mm] Ortsvektor des Mittelpunktes M, und
> diesen definiere ich folgendermaßen:
>
> [mm]\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}[/mm] +
> [mm]\bruch{\overrightarrow{AB}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{\overrightarrow{BC}}{2}[/mm] = [mm]\vektor{0,5 \\ 2 \\ 4,5}[/mm]
>
>
> [mm]\overrightarrow{RV_{g}}=[/mm] Richtungsvektor der Geraden; und
> dieser muss linear abhängig vom Normalenvektor
> [mm]\overrightarrow{NV_{E}}[/mm] der Ebene sein, damit g [mm]\perp[/mm] E
> gilt.
>
> d.h.: g [mm]\perp[/mm] E, wenn: [mm]\overrightarrow{RV_{g}}=[/mm] k *
> [mm]\overrightarrow{NV_{E}}[/mm]
>
> für den einfach Fall dass k=1, sieht die Geradengleichung
> für h so aus:
>
> h: [mm]\vec{x}= \vektor{0,5 \\ 2 \\ 4,5}+t* \vektor{0 \\ -3 \\ 4}[/mm]
>
> Nun die Schnittpunktberechnung. Dafür setze ich g=h,
>
> der Schnittpunkt hat die Koordinaten: S [mm]\vektor{0,5 \\ 3,5 \\ 2,5}[/mm]
>
> Ist das alles soweit richtig?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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