Semimartingal < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.Definition:
Ein stochastischer Prozess [mm] (X_t)_{t\geq 0} [/mm] heißt Semimartingal, wenn er als Summe eines Ito-Integrals und eines gewöhnlichen Integrals dargestellt werden kann:
[mm] X_t=X_0+\underbrace{\int_0^t Y_s dW_s}_{Ito-Integral} +\underbrace{\int_0^t Z_s ds}_{gewöhn. Integral}.
[/mm]
Hierbei sind [mm] (Y_s)_{s\geq 0} [/mm] und [mm] (Z_s)_{s\geq 0} [/mm] Ito-integrierbare stochastische Prozesse.
Beispiel:
1. [mm] X_t=W_t =\underbrace{0}_{W_0}+\int_0^t \underbrace{1}_{Y_s} dWs+\int_0^t \underbrace{0}_{Z_s} [/mm] ds
2. [mm] X_t=a\cdot W_t+b\cdot [/mm] t= [mm] \underbrace{0}_{X_0}+\int_0^t \underbrace{a}_{Y_s} dWs+\int_0^t \underbrace{b}_{Z_s} [/mm] ds
3. [mm] X_t=W_t^2= \underbrace{0}_{X_0}+\int_0^t \underbrace{2W_s}_{Y_s} dWs+\int_0^t \underbrace{1}_{Z_s} [/mm] ds
denn es gibt nach der Ito-Formel für Wiener-Prozesse:
2.Definition:
Ist [mm] (W_t)_{t\geq 0} [/mm] ein Wiener Prozess, f eine zweimal stetig differenzierbare Funktion einer Variablen x und sind die o.g. Bedingungen erfüllt (führe ich hier nicht auf), so gilt
[mm] f(W_t)=f(0)+\int_0^t f'(W_s)dW_s+\frac{1}{2}\cdot \int_0^t f''(W_s)ds [/mm] |
Hallo zusammen!
Die Beispiele 1. und 2. sind mir klar. Bei Beispiel 3 wende ich die 2. Definition an und erhalte
[mm] W_t^2=\int_0^t 2W_sdW_S+\int_0^t [/mm] 1 ds. Also ein Semimartingal.
Wie stelle ich nun aber [mm] X_t=W_s^2-t [/mm] als Semimartingal dar, ebenfalls mit Definition 2?
[mm] X_t=W_s^2-t=\underbrace{0}_{X_0}+\int_0^t \underbrace{2W_s}_{Y_s} dWs-\int_0^t \underbrace{1}_{Z_s} [/mm] ds
Vielen Dank schon im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Fr 16.12.2011 | | Autor: | ito |
[mm] $W_t^2 [/mm] - t = 2 [mm] \int_{o}^{t} W_s\, dW_s$ [/mm]
geht über die Ito-Formel
[mm] $X_t=W_t^2 [/mm] - t [mm] =:F(t,W_t)$
[/mm]
dann zeitabhängige Ito-Formel
[mm] $W_t^2 [/mm] - t= [mm] \int_{0}^{t} -1\,ds [/mm] + [mm] \int_{0}^{t} 2W_s\,dW_s [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \int_{0}^{t} 2\,ds [/mm] = 2 [mm] \int_{0}^{t} W_s\,dW_s$
[/mm]
oder einfach Beispiel 3 umformen
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