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Semantische Äquivalenz: Aufgabe mit Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Mo 17.02.2014
Autor: starki

Aufgabe
Welche der folgenden Formeln ist zu $ p [mm] \rightarrow [/mm] (q [mm] \vee [/mm] r) $ semantisch äquivalent?

(a) $ q [mm] \vee (\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] r) $

(b) $ q [mm] \wedge \neg [/mm] r [mm] \rightarrow [/mm] p $

(c) $ p [mm] \wedge \neg [/mm] r [mm] \rightarrow [/mm] q $

(d) $ [mm] \neg [/mm] q [mm] \wedge \neg [/mm] r [mm] \rightarrow \neg [/mm] p $

Also ich habe die Formeln erst einmal umgeformt:

$ p [mm] \rightarrow [/mm] (q [mm] \vee [/mm] r) [mm] \equiv \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] q [mm] \vee [/mm] r $

a) ist semantisch äquivlant (sieht man auf den ersten Blick)

b) $ q [mm] \wedge \neg [/mm] r [mm] \rightarrow [/mm] p [mm] \equiv [/mm] $

Das Und bindet stärker, also schreibe ich (zur besseren Darstellung):

$ (q [mm] \wedge \neg [/mm] r) [mm] \rightarrow [/mm] p [mm] \equiv [/mm] $

Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob der nächste Schritt gültig ist:

$ [mm] \neg (\neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] r) [mm] \rightarrow [/mm] p [mm] \equiv [/mm] $

Dieser Schritt ist nun wieder klar:

$ [mm] \neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] r [mm] \vee [/mm] p $ => semantisch nicht äquivalent

c) Diesselbe Vorgehensweise wie bei b) => semantisch äquivalent

d) Diesselbe Vorgehensweise wie bei b) => semantisch äquivalent

Sind die Lösungen richtig?

        
Bezug
Semantische Äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Di 18.02.2014
Autor: pc_doctor

Hallo nochmal,

> Welche der folgenden Formeln ist zu [mm]p \rightarrow (q \vee r)[/mm]
> semantisch äquivalent?

> b) [mm]q \wedge \neg r \rightarrow p \equiv[/mm]
>  
> Das Und bindet stärker, also schreibe ich (zur besseren
> Darstellung):
>  
> [mm](q \wedge \neg r) \rightarrow p \equiv[/mm]
>  
> Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob der nächste Schritt
> gültig ist:
>  
> [mm]\neg (\neg q \vee r) \rightarrow p \equiv[/mm]
>  


Was willst du hier machen? Erzähl mal, damit man das nachvollziehen kann.


Du hast ja richtig angefangen.
Wir haben p -> (q [mm] \vee [/mm] r ) gegeben
Umgeformt zu einer Disjunktion: [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] ( q [mm] \vee [/mm] r)

So und jetzt zub)
Dort haben wir ( q [mm] \wedge \neg [/mm] r ) -> p
Ganz strikt nach der Regel : a -> b [mm] \equiv \neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b

Also :
(q [mm] \wedge \neg [/mm] r ) -> p

[mm] \equiv \neg [/mm] (q [mm] \wedge \neg [/mm] r) [mm] \vee [/mm] p

[mm] \equiv (\neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] r ) [mm] \vee [/mm] p

[mm] \equiv [/mm] p [mm] \vee [/mm] ( [mm] \neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] r)
Sind sie nun semantisch äquiv. ?


Rückfrage: Müsst ihr das mit dem Umformen machen ? Oder sind andere Möglichkeiten erlaubt ?

Bezug
        
Bezug
Semantische Äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:10 Di 18.02.2014
Autor: tobit09

Hallo starki!


>  Also ich habe
> die Formeln erst einmal umgeformt:
>
> [mm]p \rightarrow (q \vee r) \equiv \neg p \vee q \vee r[/mm]
>  
> a) ist semantisch äquivlant (sieht man auf den ersten
> Blick)

[ok]

  

> b) [mm]q \wedge \neg r \rightarrow p \equiv[/mm]
>  
> Das Und bindet stärker, also schreibe ich (zur besseren
> Darstellung):
>  
> [mm](q \wedge \neg r) \rightarrow p \equiv[/mm]
>  
> Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob der nächste Schritt
> gültig ist:
>  
> [mm]\neg (\neg q \vee r) \rightarrow p \equiv[/mm]

Völlig korrekt. Es gilt

     [mm] $\neg(\neg q\vee r)\equiv (\neg\neg q\wedge \neg r)\equiv (q\wedge\neg [/mm] r)$

und damit die von dir behauptete semantische Äquivalenz.

> Dieser Schritt ist nun wieder klar:
>  
> [mm]\neg q \vee r \vee p[/mm]

[ok]

> => semantisch nicht äquivalent

Korrekt. Ich würde es näher begründen. Gib dazu eine Belegung an, bei der eine der beiden Formeln erfüllt ist und die andere nicht.


> c) Diesselbe Vorgehensweise wie bei b) => semantisch
> äquivalent

[ok]


> d) Diesselbe Vorgehensweise wie bei b) => semantisch
> äquivalent

[ok]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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