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| Aufgabe | Seien [mm] c_{0} [/mm] , [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] paarweise verschieden. Wir de nieren die Lagrangepolynome B = { [mm] f_{0} [/mm] , [mm] f_{1} [/mm] , [mm] f_{2} [/mm] } als [mm] f_{i}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{j=0 & j\not=i} [/mm] = (x - [mm] c_{j} [/mm] ) / ( [mm] c_{i} [/mm] - [mm] c_{j} [/mm] )
DAS PRODUKT GEHT BIS 2
a) Berechnen Sie [mm] f_{0} [/mm] , [mm] f_{1} [/mm] , [mm] f_{2} [/mm] für [mm] c_{0} [/mm] = -1 , [mm] c_{1} [/mm] = 0 , [mm] c_{2} [/mm] = 2
b) Zeigen Sie : [mm] f_{i}(c_{i})=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i =/= j \\ 1, & \mbox{für } i=j \end{cases} [/mm] |
Liebe User,
ich habe Fragen über fragen . . . Also ich muss bei der b) j = i setzen ? Das geht doch nicht - oder doch ?
Wie geht den dass ? Bitte um Hilfe 
Danke im Voraus,
Denis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 So 07.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> b) Zeigen Sie : [mm]f_{i}(c_{i})=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i =/= j \\ 1, & \mbox{für } i=j \end{cases}[/mm]
Du meinst wohl:
[mm]f_{i}(c_{j})=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i\ne j \\ 1, & \mbox{für } i=j \end{cases}[/mm]
Setze doch einfach die Defintion ein. Es ist [mm] $$f_i(c_j)=\prod_{k=0\atop k\ne i}\frac{c_j-c_k}{c_i-c_k}$$Jetzt [/mm] überlege dir, was im Falle [mm]i=j[/mm] und [mm]i\ne j[/mm] passiert...
Gruß, Robert
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also die a) habe ich geschafft, aber wieso machst Du ein "k" statt dem "j" ? und wenn, dann wäre es einfach, wenn ich [mm] c_{j} [/mm] bei x einfüge. und dann von Null bis 2 durchmultipliziere ? Aber das "j" beim c - dass müsste sich doch nicht ändern gell ?
nun - bei i = j habe ich festgestellt, dass sich ALLE Brüche kürzen lassen.
Aber was ist bei i [mm] \not= [/mm] j ?Wie schaffe das ? Ich habe da doch 2 Indexe - einmal das "i" und einmal das "j" welches sich ja nicht ändert, weil es nicht Bestandteil der Produktion ist.
Bitte erklär mir Deinen Lösungsansatz noch ein wenig präziser.
Danke im Voraus,
Denis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Di 09.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> wieso machst Du ein "k" statt dem "j" ?
> und wenn, dann wäre es einfach, wenn
> ich [mm]c_{j}[/mm] bei x einfüge. und dann von Null bis 2
> durchmultipliziere ? Aber das "j" beim c - dass müsste sich
> doch nicht ändern gell ?
j oder k... das ist nur der Name der Laufvariable, die kann kann ich nennen wie ich will, also:
[mm] $f_i(x)=\prod_{j=0\atop j\ne i}^2\frac{x-c_j}{c_i-c_j}=\prod_{k=0\atop k\ne i}^2\frac{x-c_k}{c_i-c_k}$
[/mm]
Jetzt will ich wissen was [mm] $f_i(c_j)$ [/mm] ist, also nehme ich, um Namenskollisionen zu umgehen, als Laufvariable im Produkt irgendwas anderes, z.B. k. Damit ist
[mm] $f_i(c_j)=\prod_{k=0\atop k\ne i}^2\frac{c_j-c_k}{c_i-c_k}$
[/mm]
Ich gebe zu da muss man schon aufpassen, aber im Grunde ist bis hierhin noch nichts passiert, wir haben nur die Definition angewendet.
> nun - bei i = j habe ich festgestellt, dass sich ALLE
> Brüche kürzen lassen.
Richtig, d.h. jeder Faktor ist 1 und somit ist das Produkt gleich 1, also haben wir [mm] $f_i(c_j)=1$ [/mm] für $i=j$.
> Aber was ist bei [mm] $i\ne [/mm] j$ ?Wie schaffe das ? Ich habe da
> doch 2 Indexe - einmal das "i" und einmal das "j" welches
> sich ja nicht ändert, weil es nicht Bestandteil der
> Produktion ist.
Wenn [mm] $i\ne [/mm] j$ ist, dann wird die Laufvariable k ja auf jeden Fall mal den Wert j annehmen, in diesem Fall ist der Faktor in dem Produkt [mm] $\frac{c_j-c_j}{c_i-c_j}=\frac{0}{c_i-c_j}=0$, [/mm] und damit wird das gesamte Produkt 0, ganz egal was bei den restlichen Faktoren passiert. Wir haben also insgesamt gezeigt:
[mm] $f_i(c_j)=\begin{cases}1&\text{falls }i=j\\0&\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Gruß, Robert
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