Selbstadjungiert < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Zeige, dass sich jede Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IC) [/mm] auf EINDEUTIGE WEISE in der Form A= B + iC schreiben lässt, wobei B und C selbstadjungierte sind.
Hinweise Betrachte A+ [mm] A^{\*} [/mm] und A- [mm] A^{\*} [/mm] |
hallo ,
B, C selbstadjungiert
d.h.
[mm] \overline{B}^{t}=B^{\*} [/mm] = B
[mm] \overline{C}^{t}=C^{\*} [/mm] = B
wenn es solch eine Darstellung für A gibt
Woraus beziehe ich nun dass immer solch eine darstellung existiert bzw. dass sie eindeutig ist?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mi 27.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass sich jede Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IC)[/mm] auf
> EINDEUTIGE WEISE in der Form A= B + iC schreiben lässt,
> wobei B und C selbstadjungierte sind.
> Hinweise Betrachte A+ [mm]A^{\*}[/mm] und A- [mm]A^{\*}[/mm]
> hallo ,
> B, C selbstadjungiert
> d.h.
> [mm]\overline{B}^{t}=B^{\*}[/mm] = B
> [mm]\overline{C}^{t}=C^{\*}[/mm] = B
>
> wenn es solch eine Darstellung für A gibt
> A* = (B + iC )* = B* + [mm]\overline{i}[/mm] C* = B - iC
> -> A+ [mm]A^{\*}[/mm] = B+ iC + B - iC = 2B
> -> A - [mm]A^{\*}[/mm] = B + IC - B + iC = 2* i C
>
> Woraus beziehe ich nun dass immer solch eine darstellung
> existiert bzw. dass sie eindeutig ist?
Die halbe Miete hast Du doch schon ! Setze
[mm] $B=\bruch{1}{2}(A+A^{\*})$ [/mm] und [mm] $C=\bruch{1}{2i}(A-A^{\*})$
[/mm]
Zeige , dass B und C selbstadjungiert sind. Nach Konstruktion ist A=B+iC.
Zur eindeutigkeit:
Sei B+iC [mm] =B_1+iC_1 [/mm] mit weiteren selbstadjungierten Matrizen [mm] B_1 [/mm] und [mm] C_1
[/mm]
Dann ist
[mm] B-B_1= i(C_1-C)
[/mm]
[mm] B-B_1 [/mm] und [mm] C_1-C [/mm] sind selbstadjungiert. Damit sind [mm] C_1-C [/mm] und [mm] i(C_1-C) [/mm] selbstadjungiert.
Folgere daraus: [mm] C=C_1 [/mm] und [mm] B=B_1.
[/mm]
FRED
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo, danke
für de eindeutigkeit:
> $ [mm] B-B_1 [/mm] $ und $ [mm] C_1-C [/mm] $ sind selbstadjungiert.
Warum folgt aus B, [mm] B_1 [/mm] selbstadjungiert, dass auch die Differenz selbstadjungiert ist? Ich habe gedacht das gilt allgemein nicht..?
> Folgere daraus: $ [mm] C=C_1 [/mm] $ und $ [mm] B=B_1. [/mm] $
Okay dass ist klar wenn man [mm] \* [/mm] anwendet
liebe grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mi 27.06.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] (B-B_1)^{\*}=B^{\*}-B_1^{\*}=B-B_1
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
Hei ;)
Aber [mm] i*(C_1 [/mm] - C)
wird ja zu - [mm] i*(C_1 [/mm] - C) wenn man [mm] \* [/mm] anwendet. was ja dann eigentlich nicht selbstadjungiert ist. Odre hat das auch einen Namen wenn es zum negativen wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mi 27.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hei ;)
> Aber [mm]i*(C_1[/mm] - C)
> wird ja zu - [mm]i*(C_1[/mm] - C) wenn man [mm]\*[/mm] anwendet. was ja
> dann eigentlich nicht selbstadjungiert ist. Odre hat das
> auch einen Namen wenn es zum negativen wird?
Das ist doch der Witz an der Sache !
Wegen [mm] B-B_1=[/mm] [mm]i*(C_1[/mm] - C), ist [mm]i*(C_1[/mm] - C) selbstadj.
Andererseits ist ( [mm]i*(C_1[/mm] - [mm] C))^{\*}= [/mm] - [mm]i*(C_1[/mm] - C)
Damit ist [mm]i*(C_1[/mm] - C) = - [mm]i*(C_1[/mm] - C) ,
also [mm] C=C_1.
[/mm]
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Mi 27.06.2012 | | Autor: | Lu- |
danke ;)
|
|
|
|
