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| Aufgabe | | Sei f: V [mm] \to [/mm] V eine orthogonale Abbildung. Zeigen Sie: f ist genau dann selbstadjungiert, wenn [mm] f^{2} [/mm] = id. |
Kann mr da jemand helfen? wie geh ich denn da dran??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Zunächst einmal solltest Du mitteilen , was V genau ist. Vemutlich ein unitärer oder ein euklidischer Vektorraum. dim V = ?.
f orthogonal heißt doch: ff* = f*f = I ( I = Identität)
f selbstsdjungiert bedeutet f = f*
Hilft das ?
FRED
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Danke erstmal!
Also zu V: "Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum".
Was meinst du denn mit f* ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich kenne Eure Bezeichnungsweisen nicht.
Schreib mal hin, wie Ihr "orthogonal" def. habt, dann kann ich Deine letzte Frage mit Euren Bez. beantworten.
FRED
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Ah ja, ich glaub jetzt hab ichs verstanden...
Man kann f ja auch als Matrix auffassen, und dazu haben wir aufgeschrieben:
A ist orthogonal [mm] \gdw A^{t} [/mm] * A = E [mm] \gdw [/mm] A * [mm] A^{t} [/mm] = E.
Das ist ja dann gleichbedeutend mit deinem ff* = id, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ja.
f* = Transponierte (Adjungierte)
fred
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Ok, danke! jetzt weiß ich, wie ich den beweis machen kann..das problem ist jetzt nur noch, dass wir selbsadjungiert wie folgt definiert haben:
f [mm] \in [/mm] End(V) heißt selbstadjungiert, falls [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: < f(v),w > = < v,f(w) > .
Aber du hattest ja gesagt, f ist selbstadjungiert, wenn f = f*... wie bastel ich das jetzt zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
schau mal in meine Antwort - hat sich zeitlich überschnitten.
LG djmatey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mo 23.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
da f orthogonal, gilt <f(v),f(w)> = <v,w>
Es gelte nun [mm] f^{2} [/mm] = id, dann gilt
<f(v),w> = <f(f(v)),f(w)> = <v,f(w)>,
wobei in das erste Gleichheitszeichen die Orthogonalität von f eingeht, in das zweite die Bedingung [mm] f^{2} [/mm] = id.
Damit ist die eine Richtung gezeigt. Die zweite kann man ganz ähnlich zeigen.
LG djmatey
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Jetzt hab ich doch nochmal ne frage:
Es gibt noch teil b) :
Sei f [mm] \in [/mm] End(V), f [mm] \not= [/mm] 0, f nilpotent, d.h. es ex. n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} mit [mm] f^{n} [/mm] = 0. Zeigen sie nur unter Anwendung der Definition: f ist nicht selbstadjugiert.
hast du mir dazu auch noch ne idee??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wir gehen von [mm] f^n [/mm] = 0 , aber [mm] f^{n-1} [/mm] ungleich Null aus.
Dann existiert ein y ,ungleich Null, im Bild von [mm] f^{n-1}. [/mm]
Also y = [mm] f^{n-1}(w) [/mm] für ein w in V.
Das bild von [mm] f^{n-1} [/mm] ist enthalten im Bild von f, also ist y = f(v) für ein v in V.
Wenn du nun annimmst, dass f selbstadjungiert ist, dann berechne mal
||v||² = <v,v > = ........................
Was erhälst Du ?
FRED
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hm, sorry, steh grad auf dem schlauch...
Ich kann deinen beweis nachvollziehen, aber ich kann ihn unten wo du "..." geschrieben hast nicht weiterführen...kannst du mir nochmal kurz helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Pardon, ich hatte mich verschrieben!
Es seien y, v, und w wie oben und wir nehmen an , dass f selbstadjungiert ist.
Dann
||y||² = <y,y > = <f(v), [mm] f^{n-1}(w)> [/mm] = <v, [mm] f^n(w)> [/mm] = 0, Widerspruch
FRED
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