Selbstadj.Endo. Aufgabe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:36 Di 14.06.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hallo,
ich habe eine Aufgabe bekommen, und habe auch eine Idee dazu....weiss jedoch nicht, ob diese auf schlüssig bzw. richtig ist.
Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen:
Also:
Es seinen V ein euklidischer Vektorraum mit [mm]dim V=n[/mm] und [mm]f \in L(V,V)[/mm] ein selbstadjungierter Endomorphismus mit den Eigenwerten[mm][mm] \lambda[/mm] 1[mm] \le\lambda[/mm] 2[mm] \le...\le\lambda[/mm] n.
Die Abbildung [mm]F:V\to\IR[/mm] sei gegeben durch [mm]F(x):=[/mm] für alle [mm]x \in V.[/mm]
Zeigen Sie:
Ist [mm]B:={ x [mm] \in [/mm] V ; ||x||=1 } der Rand der "Einheitskugel" in [mm]V[/mm], so gilt:
[mm]min[sub]x \in B[/sub] F(x)=\lambda[sub]1[/sub], max[sub]x \in B[/sub] F(x)=\lambda[sub]1[/sub][/mm].
Meine Idee:
Da V euklidisch ist, die Dimension endlich und [mm]f=f[sup]ad[/sup][/mm].
Jetzt weiss man darüber, dass es eine ON-Basis gibt die aus Eigenvektoren besteht.(da gibt es so n Satz).
Also existiert eine Basis [mm]B:={b[sub]1[/sub],b[sub]1[/sub],...,b[sub]n[/sub]}[/mm],
so dass [mm]f(b[sub]j[/sub])=\lambda[sub]j[/sub]b[sub]j[/sub][/mm].
So, nun muss man ja mit x arbeiten, also muss man x durch lin.Kombi
von B darstellen, oder ?.
Dann sieht man ja, dass jede Basis einen Eigenwert hat. (klar).
So nun sollte man doch ablesen, dass es verschiedene Eigenwerte gibt.
Somit gibt es einen kleinsten und größten Eigenwert bzw. es gibt ein min und ein max, d.h. Es ex. ein xn mit F(xn[mm] )=\lambda[/mm] n und ein F(x2[mm] )=\lambda[/mm] 2. Also gibt es auch ein xj, s.d. F(xj[mm] )=\lambda[/mm] j wobei [mm] 1\le j\le [/mm] n.
So, dass ist num quasi meine Lösung, versehen mit mathematischer Legastämie.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Sa 18.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo DeusRa!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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