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| Aufgabe | Sei f(x):= [mm] x^{3}-2x^{2}+\bruch{3}{2}x-1 [/mm] für [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] h_{k}(x):=kx-1 [/mm] für [mm] x\in\IR. [/mm]
Für welche [mm] k\in\IR [/mm] ist der Graph von [mm] h_{k}
[/mm]
(i) Sekante zum Graphen von f
(ii) Tangente an den Graphen von f?
Zeichnen Sie den Graphen von f, aller ermittelten Tangenten und mindestens eine der ermittelten Sekanten. |
Ich hänge leider schon bei (i), also bei der Berechnung der Sekante. Bisher habe ich nur:
[mm] f(x)=h_{k}(x)
[/mm]
[mm] x^{2}-2x+\bruch{3}{2}=k
[/mm]
Doch ist der Ansatz überhaupt richtig, bzw. wie mache ich weiter ?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn du dir klar machst, warum du diesen Ansatz gewählt hast, dann weißt du auch, dass er richtig ist.
Das ist ja so, weil eben gilt, dass eine Sekante eine solche Gerade ist, die den Graphen von f in (mindestens) zwei verschiedenen Punkten achneidet. Du musst also nachsehen, für welche Werte von k deine Gleichung zwei verschiedene Lösungen liefert. Und zwar nimmst du bitte die ürsprüngliche Gleichung, denn durch die Division durch x hast du bereits eine Lösung verloren.
Gruß Sax.
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Aber wie sehe ich das, ich habe keine Ahnung wie das umzustellen ist um da eine Aussage über die Werte von k treffen zu können, ich hätte das einfach nach k umgestellt wie zuvor aber das ist ja scheinbar falsch ... Doch wie dann ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 17.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aber wie sehe ich das, ich habe keine Ahnung wie das
> umzustellen ist um da eine Aussage über die Werte von k
> treffen zu können, ich hätte das einfach nach k
> umgestellt wie zuvor aber das ist ja scheinbar falsch ...
> Doch wie dann ?
>
> LG
Wenn du f(x) und [mm] g_{k}(x) [/mm] gleichsetzt bekommst du
[mm] x^{3}-2x^{2}+\frac{3}{2}x-1=kx-1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}+\left(\frac{3}{2}-k\right)x=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\cdot\left(x^{2}-2x+\left(\frac{3}{2}-k\right)\right)=0
[/mm]
Nun hast du ein Produkt, das Null werden soll. Der erste von k unabhänige Faktor liefert die Schnittstelle [mm] x_{1}=0
[/mm]
Der zweite Faktor ist ein Fall für die P-Q-Formel.
Aus [mm] x^{2}-2x+\left(\frac{3}{2}-k\right)=0
[/mm]
folgt
[mm] x_{2;3}=1\pm\sqrt{1-\left(\frac{3}{2}-k\right)}
[/mm]
Überlege nun mal, für welches k der Term unter der Wurzel Null ist, größer als Null ist und kleiner als Null ist.
Danach überlege mal, was das mit der Anzahl der weiteren Schnittstellen neben [mm] x_{1}=0 [/mm] zu tun hat.
Marius
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Also unter der Wurzel würde der Term für k=0,5 Null werden.
D.h. für k=0,5 hätten wir eine Sekante da wir einmal [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=1 [/mm] hätten ???
Für k>0,5 ist der Term unter der Wurzel >0, d.h Wir hätten drei Schnittstellen und somit auch eine Sekante ??
Für k<0,5 ist der Term unter der Wurzel <0, d.h. wir hätten nur eine Schnittstelle und somit keine Sekante??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 17.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also unter der Wurzel würde der Term für k=0,5 Null
> werden.
Ja
> D.h. für k=0,5 hätten wir eine Sekante da wir einmal
> [mm]x_{1}=0[/mm] und [mm]x_{2}=1[/mm] hätten ???
Ja
>
> Für k>0,5 ist der Term unter der Wurzel >0, d.h Wir
> hätten drei Schnittstellen
Ja
> und somit auch eine Sekante ??
Ja
>
> Für k<0,5 ist der Term unter der Wurzel <0, d.h. wir
> hätten nur eine Schnittstelle
Ja
> und somit keine Sekante??
Und da gilt [mm] f'(0)=\frac{3}{2}, [/mm] aber g'(0)=k ist es in der Tat nur ein Schnittpunkt, kein Berührpunkt, und damit schneiden sich f und g nur, g kann also keine Tangente an f werden.
Marius
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