Seitenhalbierende im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ? |
Hi,
also gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten
A(1/2), B(5/6) und C (0/4) darin hatten wir die Seitenhalbierenden zu bestimmten bzw die entsprechenden Vektoren, das hab ich getan indem ich zuerst die Mittelpunkte der Seiten bestimmt habe. Danach dann den Ortsvektor des jeweiligen Mittelpunktes (mit umgekehrter Orientierung) mit dem Ortsvektor des gegenüberliegenden Eckpunktes addiert und kam dann auf folgende im Unterricht verglichene - richtige Ergebnisse:
[mm] \overrightarrow{s_{a}}=\vektor{-1,5 \\ -3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{s_{b}}=\vektor{4,5 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{s_{c}}=\vektor{-3 \\ 0}
[/mm]
Jetzt ist aber der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden gefragt...
Ich als bekennender Analysis-fan hätte mir jetzt gedacht, einfach die Mittelpunkte der Seiten als Punkt einer Geraden und die Eckpunkte des Dreiecks als Punkt einer Geraden zu sehen, 3 Geradengleichungen zu bestimmen und zu gucken wo die sich schneiden. Das geht hier noch, allerdings wirds dann im dreidimensionalen Koordiantensystem schon schwieriger.
Es muss doch aber bestimmt einen "tolleren" (ja, toller gibts nicht, nur vielleicht kürzer) Weg geben, evtl einen bei dem man auch mit vektoren arbeitet ? Mir will sich die analytische Geometrie noch nicht so recht erschließen...
Liebe Grüße,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mo 04.02.2008 | | Autor: | abakus |
Der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden im Dreieck teilt jede in zwei Abschnitte, die sich wie 2:1 verhalten.
Das bedeutet für den Ortsvektor [mm] \vec{OS}=\vec{OA}+\bruch{2}{3}\vec{AS_a}=\vec{OB}+\bruch{2}{3}\vec{BS_b}=\vec{OC}+\bruch{2}{3}\vec{CS_c}
[/mm]
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Hi und danke für deine schnelle antwort,
Müsste ich am Ende nicht noch das Vorzeichen umdrehen ? Der Vektor der Seitenhalbierenden von c bsp. "zeigt" doch vom Punkt C zum Mittelpunkt von c, wenn ich jetzt den Ortsvektor von C und 2/3 der Seitenhalbierenden [mm] s_{c} [/mm] addiere erhalte ich doch einen Vektor, der vom Mittelpunkt zum Ursprung zeigt, also müsste ich doch dessen Vorzeichen noch umdrehen oder ?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mo 04.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi und danke für deine schnelle antwort,
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> Müsste ich am Ende nicht noch das Vorzeichen umdrehen ? Der
> Vektor der Seitenhalbierenden von c bsp. "zeigt" doch vom
> Punkt C zum Mittelpunkt von c, wenn ich jetzt den
> Ortsvektor von C und 2/3 der Seitenhalbierenden [mm]s_{c}[/mm]
> addiere erhalte ich doch einen Vektor, der vom Mittelpunkt
> zum Ursprung zeigt, also müsste ich doch dessen Vorzeichen
> noch umdrehen oder ?
Nein. Um von O nach S zu kommen, "läufst" du zuerst von O nach C und dann von C aus 2/3 des Wegs nach [mm] S_c. [/mm] Nach deiner Beschreibung verläuft der Vektor [mm] \vec{s_c} [/mm] in eben diese Richtung und nicht umgekehrt.
Ach so, jetzt merke ich erst, dass wir von zweierlei Dingen reden. Ich nahm an, dass dein Vektor
[mm] s_c [/mm] dem Vektor vom Punkt C zum Mittelpunkt [mm] S_c [/mm] entspricht (weil man in der Geometrie den Seitenmittelpunkt mit "groß"- [mm] S_c [/mm] und die Streckenlänge von [mm] \overline{CS_c} [/mm] mit "klein"- [mm] s_c [/mm] bezeichnet). Für dich ist wohl [mm] \vec{s_c} [/mm] der Ortsvektor des Punktes [mm] S_c?
[/mm]
>
> Lg
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Hi,
nein mit [mm] \overrightarrow{s_{c}} [/mm] meinte ich den Vektor der Seitenhalbierenden, aber die Frage hat sich inzwischen auch erledigt, musste mal die Orientierungen checken in meiner Zeichnung jetzt passt es, von daher, vielen vielen Dank.
Aber da ist nun noch was, meine Lehrerin erwartet bei Behauptungen wie "Die Seitenhalbierenden teilen einander im Verhältnis 2:1" einen Beweis ... Wie führe ich den ? Strahlensätze war meine erste Idee, aber bin damit noch nicht so richtig zu Potte gekommen... ?!
Liebe Grüße,
exeqter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 04.02.2008 | | Autor: | abakus |
Zeichne [mm] s_a [/mm] und [mm] s_b [/mm] ein. Dabei entstehen zwei Dreiecke ABS und [mm] S_aSS_b. [/mm] Die Strecke [mm] \overline{S_a S_b} [/mm] ist nach Umkehrung Strahlensatz parallel zu AB. Beide Dreiecke haben ein paar Scheitelwinkel und wegen der Parallelität auch zwei Paare kongruenter Wechselwinkel. Also sind sie ähnlich.
Das Seitenverhältnis der Stücke beider Dreiecke ist 2:1, weil nach Strahlensatz [mm] \overline{AB} [/mm] doppelt so lang sein muss wie [mm] \overline{S_a S_b}
[/mm]
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