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| Aufgabe | | [mm] \lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}- \lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x} [/mm] |
Hier liegt ja der Fall "unendlich minus unendlich" vor, also ein unbestimmter Ausdruck.
Wenn ich aber die limes zusammenziehe, erhalte ich Null raus, nämlich
[mm] \lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0}\frac{0}{\Delta x}=0
[/mm]
Was ist richtig, und vor allem: Warum ist es richtig?
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Hallo Psych,
> [mm]\lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}- \lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}[/mm]
>
> Hier liegt ja der Fall "unendlich minus unendlich" vor,
> also ein unbestimmter Ausdruck.
Gut erkannt.
> Wenn ich aber die limes zusammenziehe, erhalte ich Null
> raus, nämlich
> [mm]\lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0}\frac{0}{\Delta x}=0[/mm]
Nö.
> Was ist richtig, und vor allem: Warum ist es richtig?
Andersrum. Was ist falsch, und vor allem: Warum ist es falsch?
Schau Dir nochmal die Vorbedingungen der Grenzwertsätze an. Du darfst die beiden Limites hier nicht zusammenziehen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:17 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi reverend,
> Hallo Psych,
>
> > [mm]\lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}- \lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}[/mm]
>
> >
> > Hier liegt ja der Fall "unendlich minus unendlich" vor,
> > also ein unbestimmter Ausdruck.
>
> Gut erkannt.
>
> > Wenn ich aber die limes zusammenziehe, erhalte ich Null
> > raus, nämlich
> > [mm]\lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0}\frac{0}{\Delta x}=0[/mm]
>
> Nö.
doch - an der Aussage ist, so gesagt, erstmal nichts falsch. Was Du
eigentlich sagen willst, ist, dass da keine Gleichheit gilt:
> > Was ist richtig, und vor allem: Warum ist es richtig?
>
> Andersrum. Was ist falsch, und vor allem: Warum ist es
> falsch?
> Schau Dir nochmal die Vorbedingungen der Grenzwertsätze
> an. Du darfst die beiden Limites hier nicht
> zusammenziehen.
denn hier weist Du darauf hin.
Das ändert aber nichts daran, dass etwa (formal) richtig ist:
[mm] $(\lim_{n \to \infty}n)-\lim_{n \to \infty}n=\infty-\infty$ [/mm] ("=unbestimmter Ausdruck")
und
[mm] $\lim_{n \to \infty}(n-n)=\lim_{n \to \infty}0=0\,.$ [/mm] (Hier gibt's nichts zu rütteln!)
Oben ist übrigens bei
[mm] $\lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}$
[/mm]
"genauer" gemeint:
[mm] $\lim_{0 \not=\Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}\,.$
[/mm]
Das ist aber eine (gängige) Konventionssache!
Aber damit ist die Gleichheit
[mm] $\lim_{\Delta x\rightarrow\ \ 0} \left(\frac{e^x}{\Delta x}-\frac{e^x}{\Delta x}\right)=\lim_{\Delta x \to 0}0=0$
[/mm]
natürlich erfasst, und an dieser ist auch nichts falsch. Der Fehler entsteht
an einer anderen Stelle...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:37 Sa 31.08.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
ich habe mich unpräzise ausgedrückt, dachte aber, dass das aus dem weiteren Verlauf klar wird.
Das "Nö" bezog sich natürlich nicht auf die richtige Gleichung, nach der es steht, sondern auf den gesamten Absatz, der mit der Gleichung ändert - und damit besonders auf das "Zusammenziehen".
Mit Deiner Antwort zusammen dürfte das jetzt aber doch klar sein, insofern erübrigt sich eine erklärende Korrektur.
Grüße
rev
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}- \lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0} \frac{e^x}{\Delta x}[/mm]
>
> Hier liegt ja der Fall "unendlich minus unendlich" vor,
> also ein unbestimmter Ausdruck.
>
> Wenn ich aber die limes zusammenziehe, erhalte ich Null
> raus, nämlich
> [mm]\lim_{ \Delta x\rightarrow\ \ 0}\frac{0}{\Delta x}=0[/mm]
>
> Was ist richtig, und vor allem: Warum ist es richtig?
nur mal nebenbei (ein kleiner Stupser in die Richtung, in die Reverend Dich
lenken will):
Damit die Gleichung
[mm] $\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=(\lim_{n \to \infty}a_n)-\lim_{n \to \infty}b_n$ [/mm]
überhaupt "sinnvoll" hingeschrieben werden kann: Von was braucht man
dabei die Existenz?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Sa 31.08.2013 | | Autor: | Psychopath |
Danke, ich hatte die Voraussetzung (Existenz der einzelnen Grenzwerte) vergessen (obwohl ich sie meinem Nachhilfeschüler selbst vor kurzem gepredigt habe).
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