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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Schwierigkeiten
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Schwierigkeiten: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:48 So 30.11.2008
Autor: Dinker

Hatte eine Extremwertaufgabe......Das Minimum ist gesucht
Bin zu folgendem Zwischenresultat gekommen (wurde vom Lehrer abgesegnet)
v = [mm] \bruch{1\pi *r^{3} }{3cos^{2}x * sinx} [/mm]

Jetzt sollte ich ableiten...............bin gerade etwas verdutzt, verliere ich den kompletten Zähler? (traurig)


V' = [mm] \bruch{1}{-6cox * sinx} [/mm]

0 = [mm] \bruch{1}{-6cox * sinx} [/mm]   quadriere mal

0 = [mm] \bruch{1}{36cos^{2}x* sin ^{2}x} [/mm]

0 = [mm] \bruch{1}{36cos^{2}x* (1- cos^{2}x)} [/mm]

0 = [mm] \bruch{1}{36cos^{2}x* 36cos^{4}x)} [/mm]

geht nicht....l
Bitte helft mir

Besten Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
Schwierigkeiten: erst umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Mo 01.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Dinker!


Nach welcher Variable sollst Du denn ableiten? Nach $r_$ oder nach $x_$ ?
Ich vermute mal nach $x_$ .

Dann kannst Du Deine Funktion auch wie folgt umschreiben (vor dem Ableiten):

$$V(x) \ = \ [mm] \bruch{\pi *r^3 }{3*\cos^2(x) * \sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi *r^3}{3}*\left[\cos^2(x) * \sin(x)\right]^{-1}$$ [/mm]
Nun mittels MBKettenregel und MBProduktregel ableiten.


Gruß
Loddar


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Schwierigkeiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mo 01.12.2008
Autor: Dinker

Nach x sollte ich Ableiten...ich werde nochmals einen Anlauf nehmen

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Bezug
Schwierigkeiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mo 01.12.2008
Autor: Dinker

Ich weiss nicht ob man v'(x) so ausrechnen darf.
Gefragt ist nach dem Öffnungswinkel x also muss ich danach ableiten

Wende mal die Produkteregel an

u(x) = [mm] \bruch{\pi *r^{3} }{3} [/mm]                    u'(x) = 0

v(x) = [mm] \bruch{1}{cos^{2}x * sin(x)} [/mm]        

v'(x) =      [mm] \bruch{1}{-2*cos^{2}x * sinx} [/mm]  

Stimmt v'(x) so, oder nicht?

Besten Dank

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Schwierigkeiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 01.12.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] \bruch{\pi*r^{3}}{3} [/mm] ist ein konstanter Faktor, wir müssen uns um [mm] [cos^{2}(x)*sin(x)]^{-1} [/mm] kümmern

nach Kettenregel äußere- mal innere Ableitung

äußere Ableitung: Ableitung von [ ..... [mm] ]^{-1} [/mm]

innere Ableitung: Ableitung von [mm] cos^{2}(x)*sin(x), [/mm] dein 1. Faktor ist [mm] cos^{2}(x), [/mm] dein 2. Faktor ist sin(x)

Steffi

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Schwierigkeiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mo 01.12.2008
Autor: Dinker

Langsam verstehe ich nichts mehr....

Was stimmt an dieser ersten Ableitung nicht?

[mm] \bruch{\pi * r^{3}}{3} *\bruch{1}{-2 cosx *sin^{2}x * cos^{3} x} [/mm]



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Schwierigkeiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Mo 01.12.2008
Autor: reverend

Der Weg, auf dem Du dahin kommst, stimmt nicht - und damit auch das Ergebnis nicht.

Da Du Dich aber gerade damit abmühst, rechne ich es mal vor. Ich nehme die Vorschläge für die Herangehensweise auf, die Loddar und Steffi gemacht haben.

[mm] f(x)=\bruch{\pi*r^3}{3}*(\cos^2{x}*\sin{x})^{-1} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{\pi*r^3}{3}*\bruch{-1}{(\cos^2{x}*\sin{x})^2}*(2\cos{x}*(-\sin{x})*\sin{x}+\cos^2{x}*\cos{x})= [/mm]

[mm] =\bruch{\pi*r^3}{3}*\bruch{2-3\cos^2{x}}{\cos^3{x}*\sin^2{x}} [/mm]

Ich sehe nicht, wie man das in Deinen Vorschlag umformt.

Bezug
                                                
Bezug
Schwierigkeiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Mo 01.12.2008
Autor: Dinker

Ich bins nochmals....
Bitte schaut euch dass nochmals an, ich möchte gerne meinen eigenen Lösungsweg entwickeln...


Vielen Besten Dank

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
Schwierigkeiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Mo 01.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Ich bins nochmals....
>  Bitte schaut euch dass nochmals an, ich möchte gerne
> meinen eigenen Lösungsweg entwickeln...

Hallo,

auch wenn wir noch fünfmal draufgucken: Deine Ableitung wird falsch bleiben.

Sie wird falsch bleiben, weil Du die Ableitungsregeln nicht genug beachtest, und hier kommt Dein Einsatz: finde heraus, was Du anders gemacht hast und tu das hinfort nicht mehr.

Du möchtest

v(x) = $ [mm] \bruch{1}{cos^{2}x \cdot{} sin(x)} [/mm] $   ableiten.

Du hast hier verschiedene Möglichkeiten.


1. Entweder mit der Quotientenregel, indem Du setzt f(x):=1 und [mm] g(x):=cos^{2}x \cdot{} [/mm] sin(x) und mit der Quotientenregel die Ableitung von [mm] \bruch{f}{g} [/mm] berechnest: ( [mm] \bruch{f}{g})'= \bruch{gf'-fg'}{g^2} [/mm]

Hierbei ist zu berücksichtigen, daß  die Ableitung von g mit Produkt- und Kettenregel gebildet wird.


2. Möglicherweise hast Du auch eine Formel für die Ableitung des Kehrwertes einer Funktion parat.

Mit [mm] g(x):=cos^{2}x \cdot{} [/mm] sin(x)   würdest Du [mm] (\bruch{1}{g})'=\bruch{-g'}{g^2} [/mm]  berechnene müssen, für g' gilt wieder der Hinweis von zuvor.


3. Steffi hatte Dir gesagt, daß Du v schreiben kannst als [mm] v(x)=(cos^{2}x \cdot{} sin(x))^{-1}, [/mm] Ableitung mit der Kettenregel, wobei die innere Ableitung, also die Ableitung von [mm] cos^{2}x \cdot{} [/mm] sin(x) auch wieder mit Produkt- und Kettenregel geht.

Gruß v. Angela



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Bezug
Schwierigkeiten: Geht nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:32 Mo 01.12.2008
Autor: Dinker

Hallo ihr Lieben

Ich hab Angelas Schema befolgt, hab mich für deine erste Variante mit der Quotientenregel entschieden..............................

Doch der kack will einfach nicht funktionieren, ist echt scheisse...

Bitte helft mir

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Schwierigkeiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Mo 01.12.2008
Autor: Dinker

im Zähler stimmt das Vorzeichen nicht

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Schwierigkeiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mo 01.12.2008
Autor: Steffi21

Hallo, du hast ja lange (aber ohne Erfolg) gekämpft, wollen wir dich erlösen:

[mm] f(x)=\bruch{\pi*r^{3}}{3}*[cos^{2}(x)*sin(x)]^{-1} [/mm]

den (konstanten) Faktor [mm] \bruch{\pi*r^{3}}{3} [/mm] schleppe ich nicht mit durch die Rechnung

Ableitung von [mm] [cos^{2}(x)*sin(x)]^{-1} [/mm]

äußere Ableitung: [mm] -[cos^{2}(x)*sin(x)]^{-2} [/mm] denke hier an das einfache Beispiel [mm] x^{-1}, [/mm] Ableitung ist [mm] -x^{-2} [/mm]

innere Ableitung: wir berechnen die Ableitung von [mm] cos^{2}(x)*sin(x) [/mm] nach Produktregel

[mm] u=cos^{2}(x)=[cos(x)]^{2} [/mm]

u'=2*cos(x)*(-sin(x))=-2*cos(x)*sin(x)

der Faktor (-sin(x)) entsteht nach Kettenregel, also die innere Ableitung

v=sin(x)

v'=-cos(x)

jetzt machen wir Produktregel

[mm] -2*cos(x)*sin(x)*sin(x)+cos^{2}(x)*cos(x)=-2*sin^{2}(x)*cos(x)+cos^{3}(x) [/mm]

jetzt äußere- mal innere Ableitung

[mm] -[cos^{2}(x)*sin(x)]^{-2}*[-2*sin^{2}(x)*cos(x)+cos^{3}(x)] [/mm]

jetzt noch schön machen

[mm] \bruch{[-2*sin^{2}(x)*cos(x)+cos^{3}(x)]}{-[cos^{2}(x)*sin(x)]^{2}} [/mm]

ich kürze -1

[mm] =\bruch{2*sin^{2}(x)*cos(x)-cos^{3}(x)}{[cos^{2}(x)*sin(x)]^{2}} [/mm]

[mm] =\bruch{2*sin^{2}(x)*cos(x)-cos^{3}(x)}{cos^{4}(x)*sin^{2}(x)} [/mm]

ich kürze cos(x)

[mm] =\bruch{2*sin^{2}(x)-cos^{2}(x)}{cos^{3}(x)*sin^{2}(x)} [/mm]

jetzt mache ich trigonometrischen Pythagoras [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1, [/mm] umgestellt [mm] sin^{2}(x)=1-cos^{2}(x) [/mm]

[mm] =\bruch{2*[1-cos^{2}(x)]-cos^{2}(x)}{cos^{3}(x)*sin^{2}(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{2-2*cos^{2}(x)-cos^{2}(x)}{cos^{3}(x)*sin^{2}(x)} [/mm]

[mm] =\bruch{2-3*cos^{2}(x)}{cos^{3}(x)*sin^{2}(x)} [/mm]

beachte, wir haben den Faktor nicht mitgeschleppt

[mm] f'(x)=\bruch{\pi*r^{3}}{3}*\bruch{2-3*cos^{2}(x)}{cos^{3}(x)*sin^{2}(x)} [/mm]

so, jetzt durcharbeiten, Rechner aus, dann erneut selber rechnen, dann kontrollieren, viel Erfolg

Steffi








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